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Rotierende komplexe Zeiger

Rotierende komplexe Zeiger e i ω t + φ

Die Ortskurve der komplexen Funktion z (t) = A e i ω t + φ der reellen Variablen t

z ( t ) = A e i ω t + φ = A cos ( ω t + φ ) + i A sin ( ω t + φ )

ist ein Kreis mit dem Radius A . Interpretiert man den Parameter t als Zeit, dann rotiert der zugehörige Zeiger der komplexen Zahl z ( t ) im Gegenuhrzeigersinn mit der Kreisfrequenz ω in der Gauß´schen Zahlenebene.

Diese komplexe Funktion ist zur Darstellung von Schwingungen nützlich. Eine Sinusschwingung mit Amplitude A und Phasenwinkel φ ist gegeben durch

y ( t ) = A sin ( ω t + φ ) ,

was der Ordinate der Zeigerspitze entspricht. Der Amplitude A entspricht die Länge und der Phasenwinkel φ der Anfangslage des Zeigers bei t = 0 :

y ( 0 ) = A sin ( φ ) .

Beispiel

y 1 ( t ) = 3 sin ( t + 1 ) y 2 ( t ) = 3 sin ( t - 0,3 )
Abb.1
Darstellung von Sinusschwingungen in einem Zeigerdiagramm: Anfangslagen von z 1 , z 2 sind φ = 1 , -0,3

Ebenso ist eine Kosinusschwingung gegeben durch

y ( t ) = A cos ( ω t + ψ ) .

Die Kosinusschwingung lässt sich auch als eine Sinusschwingung mit einem um π / 2 vergrößerten Phasenwinkel darstellen:

y ( t ) = A sin ω t + ψ + π 2 .

Beispiel

y 1 ( t ) = 3 cos ( t + 1 ) y 2 ( t ) = 3 cos ( t - 0,3 ) .
Abb.2
Darstellung von Kosinusschwingungen in einem Zeigerdiagramm: Anfangslagen von z 1 , z 2 sind ψ = 1 , -0,3

In einem Zeigerdiagramm ist zur Zeit t = 0 eine unverschobene Sinus- bzw. Kosinusschwingung durch einen nach rechts bzw. nach oben gerichteten Zeiger dargestellt:

Beispiel

y 1 ( t ) = 3 sin ( t ) y 2 ( t ) = 3 cos ( t ) .
Abb.3
Zeigerdiagramm

Wird das Vorzeichen des Amplitudenfaktors A umgekehrt ( A - A ), so kehrt man auch die jeweiligen Richtungen der Zeiger um. Dies wird auch durch eine Verschiebung der Zeiger um π erreicht:

Beispiel

y 1 ( t ) = - 3 sin ( t ) = 3 sin ( t + π ) y 2 ( t ) = - 3 cos ( t ) = 3 cos ( t + π )
Abb.4
Zeigerdiagramm
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