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Komplexe Funktionen

Komplexe Funktionen einer reellen Variablen

Betrachten wir eine Funktion in der Parameterdarstellung mit einem reellen Parameter t

x = x ( t ) , y = y ( t ) , t 1 t t 2 t

und führen wir eine komplexe Zahl z ein, wobei

z = z ( t ) = x ( t ) + i y ( t )

ist, dann stellt z ( t ) eine komplexe Funktion einer reellen Variablen dar. Jedem Parameterwert t aus dem Intervall [ t 1 , t 2 ] wird eine komplexe Zahl z ( t ) zugeordnet.

Verändert sich der Parameterwert t , so bewegt sich dabei der zugehörige Zeiger der komplexen Zahl z ( t ) in der Gauß´schen Zahlenebene. Die Spitze des Zeigers beschreibt dabei eine Bahn in der Ebene, die man als Ortskurve bezeichnet.

Beispiel

Die Ortskurve der vom Parameter t abhängigen komplexen Zahl

z ( t ) = 1 + i t

ist eine vertikale Gerade durch x = Re ( z ) = 1 in der Gauß´schen Zahlenebene:

Abb.1
Ortskurve von z ( t ) = 1 + i t
Beispiel

Die Ortskurve der vom Parameter t abhängigen komplexen Zahl

z ( t ) = e i t = cos t + i sin t

ist ein Einheitskreis in der Gauß'schen Zahlenebene:

Abb.2
Ortskurve von z ( t ) = e i t
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