Komplexe Funktionen einer reellen Variablen

Betrachten wir eine Funktion in der Parameterdarstellung mit einem reellen Parameter $\mathit{t}$

$$\mathit{x}=\mathit{x}(\mathit{t}),\mathit{y}=\mathit{y}(\mathit{t}),{\mathit{t}}_1\le \mathit{t}\le {\mathit{t}}_2\mathit{t}\in ℝ$$

und führen wir eine komplexe Zahl $\mathit{z}$ ein, wobei

$$\mathit{z}=\mathit{z}(\mathit{t})=\mathit{x}(\mathit{t})+\text{i}\mathit{y}(\mathit{t})$$

ist, dann stellt $\mathit{z}(\mathit{t})$ eine komplexe Funktion einer reellen Variablen dar. Jedem Parameterwert $\mathit{t}$ aus dem Intervall $[{\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2]$ wird eine komplexe Zahl $\mathit{z}(\mathit{t})$ zugeordnet.

Verändert sich der Parameterwert $\mathit{t}$, so bewegt sich dabei der zugehörige Zeiger der komplexen Zahl $\mathit{z}(\mathit{t})$ in der Gauß´schen Zahlenebene. Die Spitze des Zeigers beschreibt dabei eine Bahn in der Ebene, die man als Ortskurve bezeichnet.

Beispiel

Die Ortskurve der vom Parameter $\mathit{t}$ abhängigen komplexen Zahl

$$\mathit{z}(\mathit{t})=1+\text{i}\mathit{t}$$

ist eine vertikale Gerade durch $\mathit{x}=\text{Re}(\mathit{z})=1$ in der Gauß´schen Zahlenebene:

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Abb.1

Ortskurve von $\mathit{z}(\mathit{t})=1+\text{i}\mathit{t}$

Beispiel

Die Ortskurve der vom Parameter $\mathit{t}$ abhängigen komplexen Zahl

$$\mathit{z}(\mathit{t})={\text{e}}^{\text{i}\mathit{t}}=cos\mathit{t}+\text{i}sin\mathit{t}$$

ist ein Einheitskreis in der Gauß'schen Zahlenebene:

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Abb.2

Ortskurve von $\mathit{z}(\mathit{t})={\text{e}}^{\text{i}\mathit{t}}$