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Winkel- und Hyperbelfunktionen

Trigonometrische Beziehungen

Abb.1
Rechtwinkliges Dreieck

Nach dem Satz des Pythagoras ist

c 2 = a 2 + b 2 = c 2 sin 2 θ + c 2 cos 2 θ .

Daraus folgt eine wichtige Beziehung:

Theorem
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 .

Zusätzliche wichtige Relationen sind die so genannte Additionstheoreme:

Theorem
sin ( θ ± φ ) = sin θ cos φ ± cos θ sin φ cos ( θ ± φ ) = cos θ cos φ sin θ sin φ

und

Theorem
sin ( θ ) ± sin ( φ ) = 2 sin θ ± φ 2 cos θ φ 2 .

Setzt man in θ = φ , so erhält man:

Theorem
sin ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sin 2 θ .

Mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras-Satzes ergeben sich aus diesen Formeln weitere Beziehungen:

Theorem
sin 2 θ = 1 2 1 - cos ( 2 θ ) cos 2 θ = 1 2 1 + cos ( 2 θ ) .

Im beliebigen Dreieck gilt:

Sinussatz
a sin α = b sin β = c sin γ

und

Kosinussatz
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c   cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c   cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b   cos γ .
Abb.2
Beliebiges Dreieck
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