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Winkel- und Hyperbelfunktionen

Darstellung der Winkelfunktionen im Einheitskreis

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich am Einheitskreises leicht veranschaulichen. Wir betrachten einen Kreis mit dem Radius 1 , der auf dem Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit den Achsen u und v zentriert ist. Auf dem Rand des Kreises definieren wir einen Punkt P . Eine Gerade zwischen O und P schließt mit der positiven x -Achse einen Winkel θ ein. Wir bezeichnen das Bogenmaß des Winkels θ (im Gradmaß) mit x , das im Einheitskreis der wie folgt berechnet wird:

x = 2 π θ 360 .

Der positive Drehsinn des Winkels θ ist dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt.

Abb.1
Einheitskreis

Nach der Definition von sin θ im rechtwinkligen Dreieck lassen sich nun die Sinus- und Kosinusfunktionen am Einheitskreis im Allgemeinen wie folgt definieren:

sin θ = a c = a  Ordinate von   P cos θ = b c = b  Abszisse von  P

Beim einem Umlauf durchläuft der Winkel θ alle Werte zwischen 0 und 360 ( x alle Werte zwischen 0 und 2 π ). Dabei durchlaufen die Ordinate und Abszisse von P ( sin x und cos x ) alle Werte zwischen -1 und +1 . Beim Wiederholen des Umlaufes wiederholen sich diese Funktionswerte. Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind also periodisch mit der Periode 2 π :

sin ( x + 2 π ) = sin x cos ( x + 2 π ) = cos x .

Läuft der Winkel θ im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn), tritt bei der Sinusfunktion ein Vorzeichenwechsel (punktsymmetrische Funktion) auf, nicht so bei der Kosinusfunktion (achsensymmetrische Funktion):

sin ( - x ) = - sin x cos ( - x ) = cos x .
Abb.2
Darstellung der Winkelfunktionen im Einheitskreis
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