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Winkel- und Hyperbelfunktionen

Hyperbolische Funktionen

Die hyperbolischen Funktionen oder Hyperbelfunktionen sind bestimmte Linearkombinationen von Exponentialfunktionen:

f ( x ) = sinh ( x ) = 1 2 e x - e - x Hyperbelsinus, Sinus hyperbolicus f ( x ) = cosh ( x ) = 1 2 e x + e - x Hyperbelkosinus, Kosinus hyperbolicus f ( x ) = tanh ( x ) = e x - e - x e x + e - x Hyperbeltangens, Tangens hyperbolicus

Die Notation ähnelt der Notation der Winkelfunktionen sin ( x ) , cos ( x ) , tan ( x ) , da auch die algebraischen Eigenschaften der Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen einander ähneln (s. Osborn´sche Regel unten). Die hyperbolische Funktionen resultieren aus der Lösung bestimmter naturwissenschaftlicher Probleme.

Abb.1
sinh ( x ) und cosh ( x )
Abb.2
tanh ( x )
Theorem
Man erhält hyperbolische Funktionen aus den trigonometrischen Funktionen, indem man cos ( x ) durch cosh ( x ) , sin ( x ) durch sinh ( x ) und jede Erscheinung von sin 2 ( x ) durch - sinh 2 ( x ) ersetzt.
cos 2 x + sin 2 x = 1 cosh 2 x - sinh 2 x = 1

Die Analogen der reziproken Funktionen sind folgendermaßen definiert

f ( x ) = sech ( x ) = 2 e x + e - x Hyperbelsekans f ( x ) = cosech ( x ) = 2 e x - e - x Hyperbelkosekans f ( x ) = coth ( x ) = e x + e - x e x - e - x Hyperbelkotangens

Die zyklometrischen hyperbolische Funktionen oder Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolische Funktionen

f ( x ) = arcsinh ( x ) = ln x + x 2 + 1 inverser Hyperbelsinus f ( x ) = arccosh ( x ) = ln x + x 2 - 1 inverser Hyperbelkosinus f ( x ) = arctanh ( x ) = 1 2 ln 1 + x 1 - x inverser Hyperbeltangens f ( x ) = arcsech ( x ) = ln 1 - x 2 + 1 x inverser Hyperbelsekans f ( x ) = arccosech ( x ) = ln sgn ( x ) x 2 + 1 + 1 x inverser Hyperbelkosekans f ( x ) = arccoth ( x ) = 1 2 ln x + 1 x - 1 inverser Hyperbelkotangens
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