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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen

Jede positive reelle Zahl y lässt sich als Potenz einer beliebigen positiven Basiszahl a mit einem reellen Exponenten x darstellen

y = a x , a > 0 .

Zur Umkehrung der Potenzbildung wird der Logarithmus eingeführt

y = a x x = log a y .

Die Bezeichnung log a y bedeutet „Logarithmus von y zur Basis a ”. Der Logarithmus von y zur Basis a ist demnach derjenige Exponent, mit dem die Basiszahl potenziert werden muss, um die Zahl y zu erhalten

y = a log a y .

Folglich ist die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Logarithmusfunktion
Eine Funktion vom Typ y = log a x mit positiver Basis a > 0 und a 1 .
Abb.1
Logarithmusfunktion
  • Die Logarithmusfunktion y = log a x ist nur für positive reelle Zahlen x > 0 definiert.
  • Die Logarithmusfunktion besitzt unabhängig von der Basis a genau eine Nullstelle bei x = 1 .
  • Im Bereich 0 < a < 1 ist die Logarithmusfunktionskurve streng monoton fallend, im Bereich a > 1 streng monoton wachsend.

In der Praxis sind die Logarithmen zu folgenden drei Basen von Bedeutung:

  • Basis e : log e x ln x Logarithmus naturalis, natürlicher Logarithmus
  • Basis 10 : log 10 x lg x dekadischer Logarithmus
  • Basis 2 : log 2 x lb x binärer Logarithmus.
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