zum Directory-modus

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen

Das Potenzieren einer reellen Zahl a mit einem rationalen Exponenten n m lässt sich folgendermaßen deuten:

a n m = a 1 m a 1 m a 1 m n-mal.

Jetzt stellt sich die Frage, wie man a x interpretiert, wenn x eine irrationale Zahl ist. Man ermittelt x näherungsweise, aber mit beliebiger Genauigkeit, mit Hilfe einer rationalen Zahl, z.B.

π = 3,14159 314.159 100.000 a π a 314.159 100.000  .

Die Verallgemeinerung des Begriffs Potenz durch reelle Potenzen führt zur Definition der Exponentialfunktionen.

Exponentialfunktion
Eine Funktion vom Typ y = a x mit positiver Basis a > 0 und a 1 .
Abb.1
Exponentialfunktion
  • Exponentialfunktionen besitzen weder Nullstellen noch Extremwerte.
  • Im Bereich 0 < a < 1 sind die Exponentialfunktionskurven streng monoton fallend, im Bereich a > 1 sind sie streng monoton wachsend.
  • Exponentialfunktionskurven schneiden die y -Achse immer bei y = 1 unabhängig von a .

In der Praxis tritt die e-Funktion besonders häufig auf

y = e x e = 2 , 718281 Eulersche Zahl .

Die e-Funktion hat die nützliche Eigenschaft, dass sie ihrer Ableitung gleich ist

d e x d x = e x und e x d x = e x + C .
<Seite 1 von 3