Exponentialfunktionen

Das Potenzieren einer reellen Zahl $\mathit{a}$ mit einem rationalen Exponenten $\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}$ lässt sich folgendermaßen deuten:

$${\mathit{a}}^{\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}}={\mathit{a}}^{\frac{1}{\mathit{m}}}\cdot {\mathit{a}}^{\frac{1}{\mathit{m}}}\cdot \dots \cdot {\mathit{a}}^{\frac{1}{\mathit{m}}}\text{n-mal.}$$

Jetzt stellt sich die Frage, wie man ${\mathit{a}}^{\mathit{x}}$ interpretiert, wenn $\mathit{x}$ eine irrationale Zahl ist. Man ermittelt $\mathit{x}$ näherungsweise, aber mit beliebiger Genauigkeit, mit Hilfe einer rationalen Zahl, z.B.

$$\pi =\mathrm{3,14159}\dots \approx \frac{314.159}{100.000}\Rightarrow {\mathit{a}}^{\pi }\approx {\mathit{a}}^{\frac{314.159}{100.000}}\text{ .}$$

Die Verallgemeinerung des Begriffs Potenz durch reelle Potenzen führt zur Definition der Exponentialfunktionen.

Exponentialfunktion

Eine Funktion vom Typ $\mathit{y}={\mathit{a}}^{\mathit{x}}$ mit positiver Basis $\mathit{a}>0$ und $\mathit{a}\ne 1$.

• Exponentialfunktionen besitzen weder Nullstellen noch Extremwerte.
• Im Bereich $0<\mathit{a}<1$ sind die Exponentialfunktionskurven streng monoton fallend, im Bereich $\mathit{a}>1$ sind sie streng monoton wachsend.
• Exponentialfunktionskurven schneiden die $\mathit{y}$-Achse immer bei $\mathit{y}=1$ unabhängig von $\mathit{a}$.

In der Praxis tritt die e-Funktion besonders häufig auf

$$\mathit{y}={\text{e}}^{\mathit{x}}\text{e}=2,718281\dots \text{Eulersche Zahl}.$$

Die e-Funktion hat die nützliche Eigenschaft, dass sie ihrer Ableitung gleich ist

$$\frac{\text{d}{\text{e}}^{\mathit{x}}}{\text{d}\mathit{x}}={\text{e}}^{\mathit{x}}\text{und}\int {\text{e}}^{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}={\text{e}}^{\mathit{x}}+\mathit{C}.$$