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Gebrochenrationale Funktionen

Bestimmung der Nullstellen, Polstellen und Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion

Zur Bestimmung der Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion

f ( x ) = g ( x ) h ( x )

zerlegt man das Zählerpolynom g ( x ) und Nennerpolynom h ( x ) in Linearfaktoren, damit eventuelle gemeinsame Nullstellen von g ( x ) und h ( x ) aufgespürt und herausgekürzt werden können. Die verbleibenden Linearfaktoren im Zähler liefern die Nullstellen, die im Nenner die Pole.

Eine gebrochenrationale Funktion nähert sich für x ± ihrer Asymptote im Unendlichen. Bei einer echt gebrochenrationalen Funktion ist diese die x -Achse ( y = 0 )

lim x ± f ( x ) = 0
Beispiel
f ( x ) = 1 x - 1

Für x ± wird f ( x ) verschwindend klein.

lim x ± 1 x - 1 = 0

Daher lauten ihre Asymptoten

y = 0 (Asymptote im Unendlichen) und x = 1 (Polgerade)
Abb.1
Asymptote der echt gebrochenrationalen Funktion y = f ( x ) = 1 / ( x - 1 )

Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion f ( x ) zerlegt man zunächst f ( x ) in eine Polynomfunktion p ( x ) und in eine echt gebrochenrationale Funktion q ( x ) durch Polynomdivision:

f ( x ) = p ( x ) + q ( x ) .

Für x ± erhält man

lim x ± f ( x ) = lim x ± p ( x ) + lim x ± q ( x ) = lim x ± p ( x )

Daher liefert p ( x ) die Gleichung der Asymptote im Unendlichen der unecht gebrochenrationalen Funktion f ( x ) .

Beispiel
f ( x ) = x 2 x - 1 .

Wir zerlegen f ( x ) zunächst in eine Polynomfunktion p ( x ) und in eine echt gebrochenrationale Funktion q ( x ) :

f ( x ) = x 2 - 1 + 1 x - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) + 1 x - 1 = x + 1 + 1 x - 1 ,

wobei

p ( x ) = x + 1 und q ( x ) = 1 x - 1

ist. Für x ± verschwindet die echt gebrochenrationale Funktion q ( x ) :

lim x ± x 2 x - 1 = lim x ± ( x + 1 ) + lim x ± 1 x - 1 = lim x ± ( x + 1 )

Die verbleibende Polynomfunktion liefert die Gleichung der Asymptote im Unendlichen:

y = x + 1 .
Abb.2
Asymptote der unecht gebrochenrationalen Funktion y = f ( x ) = x 2 / ( x - 1 )
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