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Gebrochenrationale Funktionen

Nullstellen und Polstellen

Eine gebrochenrationale Funktion

f ( x ) = g ( x ) h ( x ) = a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x 1 + a 0 b m x m + b m -1 x m -1 + + b 1 x 1 + b 0 ,

besitzt eine Nullstelle dort, wo das Zählerpolynom g ( x ) eine Nullstelle besitzt. An den Stellen, wo das Nennerpolynom h ( x ) Nullstellen besitzt, ist f ( x ) nicht definiert, d.h. sie besitzt Definitionslücken, da die Division durch Null eine nicht erlaubte Operation ist. In der Umgebung solcher Stellen wachsen oder fallen die Funktionswerte von f ( x ) über jede Grenze hinaus, d.h. die Funktionswerte werden unendlich. Diese Stellen heißen Pole oder Unendlichkeitsstellen der Funktion.

Die echt gebrochenrationale Funktion

f ( x ) = 1 x - 1

besitzt eine Polstelle x 0 = 1 (Nenner wird an der Stelle x = 1 Null). Die Abbildung zeigt die Annäherung von f ( x ) an die senkrechte Gerade x = 1 . Diese Gerade nennt man senkrechte Asymptote oder Polgerade.

Abb.1
f ( x ) = 1 / ( x -1 )
Abb.2
f ( x ) = 1 / ( x -1 ) 2

Das Vorzeichen des Funktionswertes bei der Annäherung hängt von der Richtung ab. Man spricht von einem Pol mit Vorzeichenwechsel:

lim x 1 - 1 x - 1 = - lim x 1 + 1 x - 1 = +

Dagegen besitzt die echt gebrochenrationale Funktion

f ( x ) = 1 ( x - 1 ) 2

die Polstelle x = 1 ohne Vorzeichenwechsel:

lim x 1 - 1 ( x - 1 ) 2 = + lim x 1 + 1 ( x - 1 ) 2 = +  .
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