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Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen

Ein wichtiger Funktionstyp ist die gebrochenrationale Funktion.

Gebrochenrationale Funktion
Eine gebrochenrationale Funktion ist der Quotient aus zwei Polynomfunktionen
f ( x ) = a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x 1 + a 0 b m x m + b m -1 x m -1 + + b 1 x 1 + b 0 ,
wobei n , m natürliche Zahlen und a 0 , a 1 , , a n , b 0 , b 1 , , b m reelle Zahlen (Koeffizienten) mit a n , b m 0 sind.

Man unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen:

  • m > n : Echt gebrochenrationale Funktion
  • m n : Unecht gebrochenrationale Funktion

Beispiele:

f ( x ) = 1 x 2 echt gebrochenrationale Funktion f ( x ) = x 3 x 2 - 2 echt gebrochenrationale Funktion f ( x ) = 3 x + 2 2 x - 1 unecht gebrochenrationale Funktion f ( x ) = x 4 + 1 3 x 2 - 5 unecht gebrochenrationale Funktion

Eine echt gebrochenrationale Funktion lässt sich als Summe echt gebrochener rationaler Funktionen schreiben, bekannt als Partialbruchzerlegung, z.B.

x 2 + x - 1 x ( x 2 + 1 ) 2 = - 1 x + x ( x 2 + 1 ) + 2 x + 1 ( x 2 + 1 ) 2 .
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