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Polynomfunktionen

Quadratische Funktionen

Polynomfunktionen 2. Grades heißen quadratische Funktionen und haben folgende allgemeine analytische Form:

Quadratische Funktion
f ( x ) = a x 2 + b x + c a , b , c .

Die Funktionskurve bezeichnet man als Parabel.

Abb.1
Die Parabel

Der Parameter a bestimmt die Öffnung der Parabel:

  • a > 0 : Parabel nach oben geöffnet
  • a < 0 : Parabel nach unten geöffnet.

Den im Applet dargestellten Punkt S bezeichnet man als Scheitelpunkt. Er ist das einzige Extremum der Funktionskurve. Seine Koordinaten ermittelt man durch Differenzieren der Funktionsgleichung und anschließendes Gleichsetzen des Ergebnisses mit Null:

f ' ( x ) = 2 a x + b = 0 ,

woraus die Koordinaten des Scheitelpunktes x 0 , y 0 folgen

x 0 = - b 2 a , y 0 = c - b 2 4 a .

Sind die Koordinaten von S ( x 0 , y 0 ) angegeben, so lässt sich die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform darstellen:

Scheitelpunktsform der Parabel
y = a ( x - x 0 ) 2 + y 0

Schneidet die Parabel die x -Achse, so besitzt die entsprechende Funktionsgleichung f(x)=0 zwei eindeutige Lösungen x 1 und x 2 . Wird die x -Achse nur berührt, dann liegt eine doppelte Nullstelle ( x 1 = x 2 ) vor. Mittels der Nullstellen lässt sich die Funktionsgleichung in Produktform darstellen:

Produktform der Parabel
y = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

Liegt jedoch die ganze Funktionskurve oberhalb oder unterhalb der x -Achse, dann sind die Nullstellen komplex.

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