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Polynomfunktionen

Lineare Funktionen - Geraden

Ein Polynom ersten Grades heißt lineare Funktion. Sie hat folgende analytische Form:

f ( x ) = m x + c m , c .

Sind zwei Wertepaare ( x 1 , y 1 ) und ( x 2 , y 2 ) einer linearen Funktion bekannt, lässt sich der Funktionsverlauf mittels Einzeichnen einer Gerade durch beide Punkte bestimmen (lineare Interpolation und Extrapolation).

Beispiel

Wir betrachten die lineare Funktion

y = f ( x ) = 2 x + 1 .

Tragen wir zwei Punkte, z.B. P(-1,-1) und Q(1,3), in das Koordinatensystem ein und verbinden beide Punkte, so erhalten wir eine Gerade.

Abb.1
Lineare Funktion y = f ( x ) = 2 x + 1

Die Bedeutung der Parameter m und c erklärt folgendes Applet:

Abb.2
Die Gerade

Änderungen in m wirken sich auf die Steigung der Gerade, Änderungen in c auf den y -Achsenabschnitt aus.

Normalform der Geraden
Die Darstellung einer linearen Funktion
f ( x ) = m x + c
nennt man Normalform der Geraden. m ist die Steigung und c der y -Achsenabschnitt.

Sind zwei Punkte P ( x 1 , y 1 ) und Q ( x 2 , y 2 ) auf der Gerade gegeben, dann kann man die Steigung der Gerade berechnen

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 .

Für ( x 1 , y 1 ) und einen weiteren beliebigen Punkt ( x , y ) auf der Gerade gilt ebenso

m = y - y 1 x - x 1 .

Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung der Gerade in der Zwei-Punkte-Form

Zwei-Punkte-Form der Geraden
y - y 1 x - x 1 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 .

Die Auflösung nach y ergibt:

y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + x 2 y 1 - x 1 y 2 x 2 - x 1 , x 1 x 2

Sind dagegen die x - und y -Achsenabschnitte a und b des Funktionsgraphs gegeben, dann kann die Funktion in der Achsenabschnittsform dargestellt werden:

Achsenabschnittsform der Geraden
x a + y b = 1 , a , b 0
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