zum Directory-modus

Polynomfunktionen

Polynomdivision

Eine Polynomfunktion n -ten Grades

f ( x ) = a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x 1 + a 0 a i ( a n 0 )

besitzt höchstens n reelle Wurzeln (Nullstellen), d.h. n Lösungen der Gleichung

f ( x ) = 0 .

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass genau n Wurzeln im Körper der komplexen Zahlen besitzt. Ist x = α 1 eine Wurzel von , so lässt sich f ( x ) durch ( x - α 1 ) ohne Rest dividieren:

f ( x ) = ( x - α 1 ) g ( x ) ,

wobei g ( x ) ein Polynom ( n -1 ) -ten Grades ist. Ist x = α 2 auch eine Wurzel, dann können wir schreiben

f ( x ) = ( x - α 1 ) ( x - α 2 ) h ( x ) .

Gehen wir weiter, so lässt sich f ( x ) als Produkt von n Linearfaktoren darstellen:

Theorem
Ein Polynom n -ten Grades lässt sich als ein Produkt linearer Faktoren darstellen:
f ( x ) = a n ( x - α 1 ) ( x - α 2 ) ( x - α n ) ,
wobei α 1 , α 2 , , α n die (i. Allg. komplexen) Nullstellen und a n die Stauchung bzw. Streckung von (siehe Gleichung ) f ( x ) sind.

Im Bereich der reellen Zahlen lässt sich ein Polynom als Produkt von Linearfaktoren und quadratischen Faktoren zerlegen, z.B.

x 4 - 3 x 3 + 4 x 2 - 6 x + 4 = ( x 2 + 2 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) ,

wobei der quadratische Faktor ( x 2 + 2 ) in nicht weiter zerlegbar ist, d.h. er besitzt nur komplexe Wurzeln. Folglich treten die komplexen Nullstellen stets in konjugiert komplexen Paaren auf. Die Nullstellen quadratischer Polynome lassen sich mit der p q -Formel bestimmen:

Theorem
Die quadratische Gleichung
x 2 + p x + q = 0
besitzt die Nullstellen
x = - p 2 ± p 2 2 - q .

Mit Hilfe von lässt sich eine Gleichung höheren Grades lösen. Z.B. sind die Lösungen der Gleichung

x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 = 0

gesucht, wobei die erste Lösung x = 1 durch probieren schon gefunden wurde. Nun dividieren wir x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 durch x - 1 . Dazu brauchen wir einen Satz über Polynomdivision (siehe den entsprechenden Satz für die ganzen Zahlen):

Theorem
Seien h ( x ) und g ( x ) 0 Polynome. Dann existieren eindeutige Polynome q ( x ) und r ( x ) mit
h ( x ) = q ( x ) g ( x ) + r ( x ) ,
wobei Grad r ( x ) < Grad g ( x ) ist.

Zuerst dividieren wir das erste Glied x 3 von f ( x ) durch x - 1 . Dieses ergibt das erste Glied x 2 des gesuchten Polynoms q ( x )

x 3 = x 2 ( x - 1 ) + r Rest r = x 2

Nun addieren wir das zweite Glied -6 x 2 von f ( x ) zu dem Rest r = x 2

-6 x 2 + x 2 = -5 x 2

und dividieren das Ergebnis -5 x 2 durch x - 1 :

-5 x 2 = - 5 x ( x - 1 ) + r Rest r = -5 x ,

d.h. -5 x ist das zweite Glied des gesuchten Polynoms q ( x ) . Addition des dritten Glieds 11 x von f ( x ) zu dem Rest r = -5 x ergibt 6 x und Addition des vierten Glieds -6 dazu ergibt 6 x -6 , was sich durch x - 1 ohne Rest dividieren lässt. Das dritte Glied des gesuchten Polynoms q ( x ) ist folglich 6 und somit ist

q ( x ) = x 2 - 5 x + 6 ,

d.h.

x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 x - 1 = x 2 - 5 x + 6 .

Die anderen Lösungen von sind also die Nullstellen von x 2 - 5 x + 6 . Dieses lässt sich leicht in Faktoren zerlegen

x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) .

Also besitzt die Lösungen x = 1 , x = 2 und x = 3 .

Seite 2 von 7