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Funktionen und Umkehrfunktionen

Eindeutige und mehrdeutige Zuordnungen

Eine Zuordnung von Elementen einer Eingabemenge D zu einer Ausgabemenge W ist nur dann eine Funktion, wenn ein Element von D eindeutig auf ein Element von W abgebildet wird.

Abb.1
Diese Abbildung stellt eine Funktion dar
Abb.2
Diese Abbildung stellt keine Funktion dar

Beispiel

Die Regel „Quadratwurzel ziehen” ist eine mehrdeutige Zuordnung und kann keine Funktion sein, da ein Wert auf zwei verschiedenen Werte abgebildet wird.

9 3 , -3 4 2 , -2
Abb.3
Diese Abbildung stellt keine Funktion dar

Eine Funktion erhält man nur dann, wenn man den Wertebereich auf die positiven Quadratwurzeln beschränkt

f ( x ) = + x f ( 9 ) = 3 f ( 4 ) = 2

Die graphische Darstellung dieser Zuordnungen erläutert den Unterschied. Im Falle einer Funktion schneidet eine zur y -Achse parallele Linie die Funktion an einer einzigen Stelle. Bei einer mehrdeutigen Zuordnung wird die Kurve an mehreren Stellen geschnitten.

Abb.4
Abbildung stellt eine Funktion dar
Abb.5
Abbildung stellt keine Funktion dar

Beispiel

Im Gegensatz zur Vorschrift „Quadratwurzel ziehen” ist die Vorschrift „Eingabe quadrieren” eine Funktion, die zwei verschiedene Eingaben in eine einzige Ausgabe transformiert. Man kann diese Tatsache veranschaulichen, indem man eine horizontale Gerade durch einen beliebigen Punkt ( 0 , y ) auf der y -Achse einzeichnet. Die Gerade schneidet die Funktionskurve an zwei Stellen und dies deutet darauf hin, dass sich die Ausgabe y aus zwei verschiedenen Eingaben ergibt.

Abb.6
Abbildung der Funktion f ( x ) = x 2
Abb.7
Graph der Funktion f ( x ) = x 2

Weitere Terminologie

Surjektivität
Eine Funktion f : X Y heißt surjektiv, wenn für jedes y Y ein x X existiert.
Injektivität
Eine Funktion f : X Y heißt injektiv, wenn gilt
f ( x 1 ) = f ( x 2 ) x 1 = x 2 .
Bijektivität
Eine Funktion nennt man bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.
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