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Funktionen und Umkehrfunktionen

Umkehrfunktion

Eine Funktion f wandelt einen Eingangswert x in einen Ausgangswert y = f ( x ) um. Diese Operation lässt sich umkehren, indem man eine Funktion f -1 definiert, die f ( x ) auf x zurückabbildet. f -1 bezeichnet man als Umkehrfunktion (der Exponent -1 bedeutet hier keine Potenz).

Abb.1
Umkehrfunktion

Die analytische Darstellung dieses Vorgangs lautet

f -1 ( f ( x ) ) = x

Beispiel

Berechne die Umkehrfunktion der Funktion f ( x ) = 2 x + 1 . Die Umkehrfunktion f -1 soll die Werte 2 x + 1 in die Werte x zurückabbilden, d.h.

f -1 ( 2 x + 1 ) = x  .

Führen wir eine neue Variable z = 2 x + 1 ein und lösen wir nach x auf

x = z -1 2 ,

so erhalten wir die Umkehrfunktion

f -1 ( z ) = z -1 2 oder f -1 ( x ) = x -1 2  .
Tab.1
Wertetabelle der Funktion f ( x ) = 2 x + 1 und ihrer Umkehrfunktion f -1 ( x )
x 1,0 2,0 3,0
f ( x ) 3,0 5,0 7,0
f -1 ( f ( x ) ) 1,0 2,0 3,0
Abb.2
Graph der Funktion f ( x ) = 2 x + 1 und ihrer Umkehrfunktion f -1 ( x )

Die Darstellung zeigt, dass die Funktion f ( x ) (rot) und ihre Umkehrfunktion f -1 ( x ) (blau) spiegelsymmetrisch zur Gerade f ( x ) = x (grau) sind.

Bestimmung der Umkehrfunktion

  1. Man führt die Variable z = f ( x ) ein und löst die Gleichung nach x auf f -1 ( f ( x ) ) = x f -1 ( z ) = g ( z ) =x
  2. Man vertauscht die beiden Variablen x und z z = f -1 ( x ) = g ( x )

Nicht alle Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion. Wenn zu einem beliebigen Ausgangswert mehrere Funktionswerte gehören (z.B. f ( x ) = x 2 ), ist die Funktion nicht umkehrbar. Grund dafür ist die nicht eindeutige Zuordnung des x -Wertes, die der Definition einer Funktion widerspricht.

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