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Charakterisierung von Funktionen

Stetigkeit und Grenzwert einer Funktion

Eine unstetige Funktion ist durch einen oder mehrere Sprünge im Verlauf der Kurve ihrer graphischen Darstellung charakterisiert. Die Sprünge heißen Unstetigkeitsstellen und die Funktion gilt als unstetig an diesen Stellen.

Definiert man eine Funktion mit einer Unstetigkeit, muss man verschiedene Funktionsregeln auf beiden Seiten der Unstetigkeitsstelle angeben, z.B.:

Abb.1
Unstetige Funktion

f ( x ) = ( x -1 ) 2 x < 1 ( x -1 ) 2 + 1 x 1  .

Nun stellt sich die Frage, welchen Wert y = f ( x ) annimmt, wenn x sich der Stelle x = 1 annähert. Bei Links-Annäherung strebt y gegen 0 , bei Rechts-Annäherung gegen 1 . Dies drückt man aus wie folgt:

lim x 1 - f ( x ) = 0

bzw.

lim x 1 + f ( x ) = 1

Da in diesem Beispiel die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle x = 1 nicht identisch sind, existiert kein Grenzwert an dieser Stelle. Dies weist darauf hin, dass die Funktion an der Stelle x = 1 unstetig ist. Dies führt zu folgenden Definition von Stetigkeit

Stetigkeit
Eine Funktion f ( x ) ist an der Stelle x = x 0 stetig, genau dann, wenn
lim x x 0 - f ( x ) = lim x x 0 + f ( x ) = f ( x 0 )
ist.

Stimmen links- und rechtsseitige Grenzwerte überein, so schreibt man

lim x x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) .

Dass die Funktion f ( x ) an der Stelle x 0 einen Grenzwert hat (links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich), bedeutet nicht, dass der Grenzwert mit dem Funktionswert f ( x 0 ) übereinstimmen muss; f ( x 0 ) muss nicht unbedingt definiert sein.

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