zum Directory-modus

Charakterisierung von Funktionen

Symmetrie

Gerade Funktion
Eine Funktion heißt gerade, wenn sie die Bedingung
f ( - x ) = f ( x )
für alle x in ihrem Definitionsbereich erfüllt.
Abb.1
Graph der geraden Funktion y = x 2

Der Funktionsgraph ist spiegelsymmetrisch zur y -Achse.

Ungerade Funktion
Eine Funktion heißt ungerade, wenn sie die Bedingung
f ( - x ) = - f ( x )
für alle x in ihrem Definitionsbereich erfüllt.
Abb.2
Graph der ungeraden Funktion y = x 3

Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel

Die Funktion f ( x ) = x 3 + 2 x ist ungerade.

f ( - x ) = ( - x ) 3 + 2 ( - x ) = - x - x - x - 2 x = - x 3 - 2 x = - ( x 3 + 2 x ) = - f ( x )

Manche Funktionen sind weder gerade noch ungerade, z.B. die Exponentialfunktion f ( x ) = e x .

Es ist jedoch möglich, jede Funktion Funktion f ( x ) in eine Summe aus gerader und ungerader Funktion umzuwandeln. Man spaltet die Funktion f ( x ) in zwei Teile, indem man sie wie folgt umschreibt.

f ( x ) = 1 2 f ( x ) + f ( - x ) + 1 2 f ( x ) - f ( - x ) = f gerade ( x ) + f ungerade ( x )

Es lässt sich zeigen, dass das erste Glied gerade ist:

f gerade ( - x ) = 1 2 f ( - x ) + f ( x ) = 1 2 f ( x ) + f ( - x ) = f gerade ( x ) ,

und das zweite Glied ungerade:

f ungerade ( - x ) = 1 2 f ( - x ) - f ( x ) = - 1 2 f ( x ) - f ( - x ) = - f ungerade ( x ) .
Seite 2 von 6