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Funktionen - Grundlagen

Explizite, implizite und parametrische Darstellung von Funktionen

In der Formel y = f ( x ) stellt x die unabhängige und y die abhängige Variable dar. Dies nennt man die explizite Darstellung einer Funktion. Auch x = g ( y ) ist eine explizite Darstellung, wobei hier y die unabhängige und x die abhängige Variable ist. Ist der Hinweis auf die Art der Variable unwesentlich, so kann man die implizite Darstellung

F ( x , y ) = 0

verwenden.

Parametrische Darstellung

Neben der impliziten und expliziten Darstellung gibt es eine dritte Möglichkeit eine Funktion darzustellen. Danach können die Variablen x und y als Funktionen eines dritten Parameters t formuliert werden.

x = x ( t ) , y = y ( t ) , t 1 t t 2

Für jeden Wert von t aus dem Intervall [ t 1 , t 2 ] erhält man einen anderen Punkt ( x , y ) . Die Menge solcher Punkte legt die Funktionskurve der durch den Parameter t dargestellten Funktion fest.

Beispiel

Wir betrachten die parametrische Funktion

x = 2 t , y = t 2 + 1 , 1 t -1

Zunächst erstellen wir eine Wertetabelle für einige Werte von t :

Tab.1
Wertetabelle
t -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
x -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0
y 2,0 1,25 1,0 1,25 2,0

Nun stellen wir die resultierenden Wertepaare ( x , y ) in graphischer Form dar:

Abb.1
Wertepaare ( x , y ) der parametrischen Funktion x = 2 t , y = t 2 + 1 , 1 t -1

Dadurch entsteht die gesuchte Funktionskurve. Die parametrische Darstellung lässt sich auch in die explizite Funktionsdarstellung konvertieren:

y = t 2 + 1 = x 2 2 + 1 = x 2 4 + 1 f ( x ) = x 2 4 + 1

Ist hingegen eine Funktion in der expliziten oder impliziten Darstellung, z.B. F ( x , y ) = 0 , gegeben, wie konvertiert man sie in die parametrische Darstellung? Man wählt einen beliebigen Punkt P = ( x 0 , y 0 ) auf der Funktionskurve und betrachtet die Familie aller Geraden g ( t ) , die durch den Punkt P verlaufen:

g ( t ) : y - y 0 = t ( x - x 0 ) ,

wobei man t als die Steigung der Geraden erkennt. Dann löst man g ( t ) nach y auf und substituiert sie in die Gleichung der Funktionskurve F ( x , y ) = 0 , um x ( t ) und anschließend y ( t ) zu bestimmen.

Beispiel

Der Einheitskreis hat die implizite Darstellung

x 2 + y 2 - 1 = 0 .

Der Punkt P = ( -1 , 0 ) liegt auf der Kurve . Eine durch P verlaufende Gerade ist

y = t ( x + 1 ) .

Setzt man in ein, so ergibt sich

x 2 + t 2 ( x + 1 ) 2 - 1 = 0

oder

( t 2 + 1 ) x 2 + 2 t 2 x + ( t 2 - 1 ) = 0 ,

und sie hat die Lösung

x ( t ) = - 2 t 2 ± 4 t 4 - 4 ( t 2 + 1 ) ( t 2 - 1 ) 2 ( 1 + t 2 ) = - - t 2 ± 1 1 + t 2 = 1 - t 2 1 + t 2 , -1 .

Die zweite Lösung x = -1 ist die x -Koordinate des Punktes P ; so ist x ( t ) = ( 1 - t 2 ) / ( 1 + t 2 ) die parametrische Lösung. liefert dann y ( t ) :

y ( t ) = t 1 - t 2 1 + t 2 + 1 = 2 t 1 + t 2 .

Der Einheitskreis hat die parametrische Darstellung

x ( t ) = 1 - t 2 1 + t 2 , y ( t ) = 2 t 1 + t 2 t ( - , ) .

Die Parameterdarstellung einer Funktion ist nicht eindeutig, eine andere parametrische Darstellung für den Einheitskreis ist z.B.

x ( t ) = cos  t , y ( t ) = sin  t t [ 0 , 2 π ] .
Abb.2
Parameterdarstellung des Einheitskreises

Gezeigt sind zwei Parametrisierungen des Einheitskreises: 1. (blauer Zeiger) x ( t ) = ( 1 - t 2 ) / ( 1 + t 2 ) , y ( t ) = 2 t / ( 1 + t 2 ) ; 2. (grüner Zeiger) x ( t ) = cos  t , y ( t ) = sin  t

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