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Funktionen - Grundlagen

Graphische Darstellung von Funktionen

Die Eigenschaften einer Funktion lassen sich durch eine graphische Darstellung leichter bestimmen, z.B. wo ist die Funktion positiv oder für welche Argumente sind die Funktionswerte gleich Null?

Betrachten wir die Funktion mit der Regel „Eingabe in zweite Potenz erheben und zwei subtrahieren”. Die analytische Darstellung der Funktion lautet f ( x ) = x 2 - 2 . Wir können Funktionswerte für verschiedene Argumente berechnen und die Ergebnisse in eine Tabelle zusammenfassen

Tab.1
Wertetabelle der Funktion f ( x ) = x 2 - 2
x -2. -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
f ( x ) 2,0 0,25 -1,0 -1,75 -2,0 -1,75 -1,0 0,25 2,0

Um die graphische Darstellung dieser Funktion zu erzeugen, werden zuerst zwei senkrecht zueinander stehenden Achsen gezeichnet. Die horizontal liegende Achse ist die x -Achse und die vertikal liegende Achse die y -Achse. Ihr Schnittpunkt heißt der Ursprung. Jedes Paar von Eingabe- und Ausgabewerten wird durch einen Punkt auf dem Diagramm dargestellt.

Abb.1
Graphische Darstellung der Wertepaare der Funktion f ( x ) = x 2 - 2 (siehe Tabelle)

Die x -Achse gibt die Eingabewerte ( x ) und die y -Achse die Ausgabewerte ( y = f ( x ) ) an. Ein Punkt ist als ( x , y ) bezeichnet, x und y nennt man die Koordinaten.

Abb.2
Graph einer Funktion
Tab.2
Bezeichnungen
Ursprung O
Punkt P
Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten x 0 , y 0
Abszisse x 0
Ordinate y 0

Wird eine glatte Kurve durch die Punkte eingezeichnet, so liefert das Diagramm angenäherte Funktionswerte zusätzlich zu den Werten in der Wertetabelle. Man bezeichnet dies als Interpolation.

Bildet der Definitionsbereich ein Intervall, z.B. D = [ -2 , 2 ] = { x | -2 x 2 } , kann x unendlich viele kontinuierliche Werte annehmen, und die Punkte verschmelzen zu einer Kurve. Die Menge aller Punkte bildet die Funktionskurve.

Abb.3
Graphische Darstellung der Funktion f ( x ) = x 2 - 2
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