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Zufallsfolgen

Kreuzkorrelation zweier Folgen

Kreuzkorrelation
Die Kreuzkorrelation zweier Folgen { x n } , n = 1 , , N und { y n , n = 1 , , N } ist die Folge
c m : = 1 N ' n = 1 N ' x n y n + m m = 0 , 1 , 2 , , M N ' = N - M .

Die Kreuzkorrelation ist ein Maß dafür, wie stark im Mittel der Zusammenhang zwischen Wertepaaren x n und y n + m ist. In der Praxis berechnen wir die Kreuzkorrelation der Abweichungen von dem arithmetischen Mittel

c m : = 1 N ' n = 1 N ' a n b n + m m = 0 , 1 , 2 , , M N ' = N - M  ,

wobei

a n : = x n - x ¯ n = 0 , 1 , 2 , , N und x ¯ = 1 N n = 1 N x n

und

b n : = y n - y ¯ n = 0 , 1 , 2 , , N und y ¯ = 1 N n = 1 N y n

sind.

Für zwei beim N -mal Werfen eines Würfels erzeugte Zufallsfolgen

x n = 2 , 5 , 6 , 1 , 3 , 4 , N = 1.000  und y n = 3 , 6 , 1 , 2 , 4 , 2 , N = 1.000

besteht kein Zusammenhang zwischen den Werten, was das folgende Kreuzkorrelationsdiagramm andeutet.

Abb.1
Kreuzkorrelationsdiagramm zweier Zufallsfolgen

Für zwei korrelierte Folgen sieht es anders aus. Nun erzeugen wir die zweite Folge { y n } durch Verschiebung der ersten Folge { x n } um zwei Stellen nach rechts, d.h. es gilt:

y n = x n -2 , n = 3 , 4 ,   .
Abb.2
Kreuzkorrelationsdiagramm zweier korrelierter Zufallsfolgen

Aus dieser Abbildung wird deutlich, dass der Koeffizient c 2 den größten Wert hat, was darauf hinweist, dass die Ähnlichkeit zwischen der x - und der y -Folge am größten für um 2 Einheiten gegeneinander verschobene Paare ist.

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