Kreuzkorrelation zweier Folgen

Kreuzkorrelation

Die Kreuzkorrelation zweier Folgen $\{{\mathit{x}}_{\mathit{n}}\},\mathit{n}=1,\dots ,\mathit{N}$ und $\{{\mathit{y}}_{\mathit{n}},\mathit{n}=1,\dots ,\mathit{N}\}$ ist die Folge

$${\mathit{c}}_{\mathit{m}}:=\frac{1}{\mathit{N}\text{'}}\sum _{\mathit{n}=1}^{\mathit{N}\text{'}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}\cdot {\mathit{y}}_{\mathit{n}+\mathit{m}}\mathit{m}=0,1,2,\dots ,\mathit{M}\mathit{N}\text{'}=\mathit{N}-\mathit{M}.$$

Die Kreuzkorrelation ist ein Maß dafür, wie stark im Mittel der Zusammenhang zwischen Wertepaaren ${\mathit{x}}_{\mathit{n}}$ und ${\mathit{y}}_{\mathit{n}+\mathit{m}}$ ist. In der Praxis berechnen wir die Kreuzkorrelation der Abweichungen von dem arithmetischen Mittel

$${\mathit{c}}_{\mathit{m}}:=\frac{1}{\mathit{N}\text{'}}\sum _{\mathit{n}=1}^{\mathit{N}\text{'}}{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\cdot {\mathit{b}}_{\mathit{n}+\mathit{m}}\mathit{m}=0,1,2,\dots ,\mathit{M}\mathit{N}\text{'}=\mathit{N}-\mathit{M}\text{ ,}$$

wobei

$${\mathit{a}}_{\mathit{n}}:={\mathit{x}}_{\mathit{n}}-\overline{\mathit{x}}\mathit{n}=0,1,2,\dots ,\mathit{N}\text{und}\overline{\mathit{x}}=\frac{1}{\mathit{N}}\sum _{\mathit{n}=1}^{\mathit{N}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}$$

und

$${\mathit{b}}_{\mathit{n}}:={\mathit{y}}_{\mathit{n}}-\overline{\mathit{y}}\mathit{n}=0,1,2,\dots ,\mathit{N}\text{und}\overline{\mathit{y}}=\frac{1}{\mathit{N}}\sum _{\mathit{n}=1}^{\mathit{N}}{\mathit{y}}_{\mathit{n}}$$

sind.

Für zwei beim $\mathit{N}$-mal Werfen eines Würfels erzeugte Zufallsfolgen

$$\begin{array}{rcll}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}& =& 2,5,6,1,3,4,\dots & \mathit{N}=1.000\text{ und}\\ {\mathit{y}}_{\mathit{n}}& =& 3,6,1,2,4,2,\dots & \mathit{N}=1.000\end{array}$$

besteht kein Zusammenhang zwischen den Werten, was das folgende Kreuzkorrelationsdiagramm andeutet.

Für zwei korrelierte Folgen sieht es anders aus. Nun erzeugen wir die zweite Folge $\{{\mathit{y}}_{\mathit{n}}\}$ durch Verschiebung der ersten Folge $\{{\mathit{x}}_{\mathit{n}}\}$ um zwei Stellen nach rechts, d.h. es gilt:

$${\mathit{y}}_{\mathit{n}}={\mathit{x}}_{\mathit{n}-2},\mathit{n}=3,4,\dots \text{ .}$$

Aus dieser Abbildung wird deutlich, dass der Koeffizient ${\mathit{c}}_2$ den größten Wert hat, was darauf hinweist, dass die Ähnlichkeit zwischen der $\mathit{x}$- und der $\mathit{y}$-Folge am größten für um 2 Einheiten gegeneinander verschobene Paare ist.