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Zufallsfolgen

Autokorrelation einer Folge

Die Bestimmung von π durch Zufallszahlen funktioniert nur korrekt, wenn eine echte Zufallsfolge { r n } vorliegt. Dies ist bei einer gegebenen Zahlenfolge { x n } nicht ohne weiteres erkennbar. Hier hilft die so genannte Autokorrelation (Korrelation = „Zusammenhang”) der Folge { x n } , n = 1 , 2 , , N , die wie folgt definiert ist:

Autokorrelation
Die Autokorrelation einer Folge { x n } , n = 1 , , N ist die Folge
ρ m : = 1 N ' n = 1 N ' x n x n + m m = 0 , 1 , 2 , , M N ' = N - M .

Damit alle ρ m -Werte gleiche Mittelungsgenauigkeiten besitzen, muss N ' = N - M gewählt werden. Hohe Genauigkeit bedingt M N , d. h. ρ m kann nur für kleine Werte der maximalen Verschiebungszahl M bestimmt werden. In der Praxis berechnen wir die Autokorrelation der Abweichungen von dem arithmetischen Mittel (dies ändert die Verteilung der Werte nicht)

ρ m : = 1 N ' n = 1 N ' b n b n + m m = 0 , 1 , 2 , , M ,

wobei

b n : = x n - x ¯ n = 0 , 1 , 2 , , N und x ¯ = 1 N n = 1 N x n

sind.

Die Autokorrelation einer Zufallsfolge wird wie folgt für die Beispielfolge berechnet, die beim N -mal Werfen eines Würfels erzeugt wurde:

x n = 2 , 5 , 6 , 1 , 3 , 4 N = 6 .
  • 1. Schritt: Mittelwert abziehen: x ¯ = 1 N n = 1 6 x n = 3,5 b n = x n - x ¯ = x n - 3,5 { b n } = { - 3 2 , 3 2 , 5 2 , - 5 2 , - 1 2 , 1 2 }  . Die Wahrscheinlichkeiten p k bleiben gleich für x n - 3,5 .
  • 2. Schritt: Produkte mitteln: Wir setzen M = 2 und somit ist N ' = N - M = 6 - 2 = 4 . Dann ist ρ 0 = 1 4 ( b 1 b 1 + b 2 b 2 + b 3 b 3 + b 4 b 4 ) = 1 4 1 4 ( 9 + 9 + 25 + 25 ) = 68 16 = 17 4 ρ 1 = 1 4 ( b 1 b 2 + b 2 b 3 + b 3 b 4 + b 4 b 5 ) = 1 4 1 4 ( -9 + 15 - 25 + 5 ) = - 14 16 = - 7 8 ρ 2 = 1 4 ( b 1 b 3 + b 2 b 4 + b 3 b 5 + b 4 b 6 ) = 1 4 1 4 ( -15 - 15 - 5 - 5 ) = - 40 16 = - 5 2  .

Für N ' besitzt die Autokorrelation einer echten Zufallsfolge folgende Werte:

ρ m > 0 m = 0 = 0 m 0 .

Das Beispiel zeigt, dass wesentlich mehr als vier Mittelungen erforderlich sind, um diese Werte für den Würfel zu erhalten. Nun berechnen wir die Autokorrelation für eine beim Werfen eines Würfels erzeugte Zufallsfolge mit N = 1.000 und M = 100 :

Abb.1
Autokorrelationsdiagramm einer Zufallsfolge

Der Abbildung entnimmt man, dass nur der Koeffizient ρ 0 einen beträchtlichen Wert hat, was laut darauf hinweist, dass eine Zufallsfolge vorliegt, d.h. es gibt keinerlei Korrelationen zwischen aufeinander folgenden Werten.

Betrachtet man hingegen die folgende stark korrelierte Folge

x n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 , 2 , N = 1.000

mit der Bildungsformel

x n = ( ( n -1 ) mod 6 ) + 1 , n = 1 , 2 , , N ,

d.h. die Wiederholung von 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , dann sieht die ermittelte Autokorrelation (für M = 100 ) so aus:

Abb.2
Autokorrelationsdiagramm einer korrelierten Folge
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