Anwendung: Ermittlung der Zahl $\pi$

Zufallsfolgen finden heute vielfältige Anwendungen, zum Beispiel bei Rechnungen zur Simulation natürlicher Prozesse. Ein einfaches Beispiel ist die Ermittlung der Zahl $\pi$. Dafür verwenden wir einen Zufallsprozess, der eine Folge gleich verteilter reeller Zufallszahlen ${\mathit{r}}_{\mathit{n}}\in [0,1]$ erzeugt. Aus $2\mathit{N}$ ${\mathit{r}}_{\mathit{n}}$ -Werten konstruieren wir $\mathit{x},\mathit{y}$ -Koordinaten gemäß

$${\mathit{x}}_{\mathit{m}}={\mathit{r}}_{2\mathit{m}-1},{\mathit{y}}_{\mathit{m}}={\mathit{r}}_{2\mathit{m}}\mathit{m}=1,2,\dots ,\mathit{N}$$

und zeichnen die $\mathit{N}$ -Wertepaare $({\mathit{x}}_{\mathit{m}},{\mathit{y}}_{\mathit{m}})$ als Punkte $\mathit{m}$ in einem $\mathit{x},\mathit{y}$ -Koordinatensystem. Dann zeichnen wir mit einem Zirkel den Viertelkreis in das Begrenzungsquadrat mit den Ecken $(0,0)$, $(0,1)$ und $(1,1)$ ein. Die Zahl der Punkte ${\mathit{N}}_{\mathit{v}}$ im Viertelkreis ist proportional der Fläche $\pi {\mathit{r}}^2/4=\pi /4$ (da $\mathit{r}=1$), also ${\mathit{N}}_{\mathit{v}}=\alpha \pi /4$, entsprechend gilt für die Gesamtzahl der Punkte $\mathit{N}=\alpha \cdot 1\cdot 1=\alpha$. Also folgt ${\mathit{N}}_{\mathit{v}}/\mathit{N}=\pi /4$ oder $\pi =4\cdot {\mathit{N}}_{\mathit{v}}/\mathit{N}$. Für $\mathit{N}=10.000$ erhält man so den Näherungswert $\mathrm{3,1356}$. Die Genauigkeit der Methode ist proportional zu $1/\sqrt{\mathit{N}}$. Diese $\pi$-Bestimmung ist eines von vielen Beispielen einer Verfahrensweise, die als Monte-Carlo-Methode bezeichnet wird.