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Zufallsfolgen

Anwendung: Ermittlung der Zahl π

Zufallsfolgen finden heute vielfältige Anwendungen, zum Beispiel bei Rechnungen zur Simulation natürlicher Prozesse. Ein einfaches Beispiel ist die Ermittlung der Zahl π . Dafür verwenden wir einen Zufallsprozess, der eine Folge gleich verteilter reeller Zufallszahlen r n [ 0 , 1 ] erzeugt. Aus 2 N r n -Werten konstruieren wir x , y -Koordinaten gemäß

x m = r 2 m -1 , y m = r 2 m m = 1 , 2 , , N

und zeichnen die N -Wertepaare ( x m , y m ) als Punkte m in einem x , y -Koordinatensystem. Dann zeichnen wir mit einem Zirkel den Viertelkreis in das Begrenzungsquadrat mit den Ecken ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) und ( 1 , 1 ) ein. Die Zahl der Punkte N v im Viertelkreis ist proportional der Fläche π r 2 / 4 = π / 4 (da r = 1 ), also N v = α π / 4 , entsprechend gilt für die Gesamtzahl der Punkte N = α 1 1 = α . Also folgt N v / N = π / 4 oder π = 4 N v / N . Für N = 10.000 erhält man so den Näherungswert 3,1356 . Die Genauigkeit der Methode ist proportional zu 1 / N . Diese π -Bestimmung ist eines von vielen Beispielen einer Verfahrensweise, die als Monte-Carlo-Methode bezeichnet wird.

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Abb.1
Ermittlung der Zahl π
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