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Zufallsfolgen

Eigenschaften einer Zufallsfolge

Wir betrachten beispielsweise die Zahlenfolge r n erzeugt beim N -mal Werfen eines Würfels und berechnen ihren Mittelwert und ihre Verteilung.

r n = a 1 , a 2 , , a N = 2 , 5 , 6 , 1 , 3 , 4 , , 3

Mittelwert

Schätzwert: μ N = 1 N n = 1 N a n = 1 N ( N 1 1 + N 2 2 + + N 6 6 ) = k = 1 6 N k N k relative Häufigkeit der Augenzahl  k: h k ( N ) : = N k N μ N = k = 1 6 h k ( N ) k

Es gilt:

k = 1 6 h k ( N ) = 1 = N N da k = 1 6 N k = N  .

Für die Mittelwerte der ersten 3, 4, 5 Würfe ergibt sich:

μ 3 = 1 3 ( 2 + 5 + 6 ) = 13 3 = 4,3 μ 4 = 1 4 ( 13 + 1 ) = 14 4 = 3,5 μ 5 = 1 5 ( 14 + 3 ) = 17 5 = 3,4

Für N erhalten wir

μ : = lim N μ N = k = 1 6 p k k

Dabei steht p k für die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl k und ist wie folgt definiert:

p k = lim N h k ( N )

Für einen idealen Würfel gilt, dass alle Seiten gleich wahrscheinlich sind, p k für alle Augenzahlen also gleich groß ist!

p k = 1 6 μ = 1 6 ( 1 + + 6 ) = 21 6 = 3,5

Verteilung

Tragen wir die Werte von p k über k auf, zum Beispiel als Strichdiagramm, so erhalten wir daraus ein so genanntes Histogramm.

Abb.1
Verteilung von Augenzahlen

An der Form des Histogramms erkennen wir, dass im Falle des idealen Würfels eine so genannte Gleichverteilung vorliegt, also alle Augenzahlen gleich häufig auftreten. Verwenden wir einen gezinkten Würfel, bei dem zum Beispiel der Schwerpunkt nahe der 6 liegt und daher die 1 öfter auftritt als die anderen Zahlen, so entsteht:

p 1 = 1 4 p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = 1 6 p 6 = 1 12 p k = 1

Tragen wir wieder die Wahrscheinlichkeit auf, so ergibt sich das folgende Histogramm:

Abb.2
Verteilung von Augenzahlen: gezinkter Würfel
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