Wurzelkriterium von Cauchy

Theorem

Eine Reihe

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}$$

konvergiert, wenn

$$\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}|{\mathit{a}}_{\mathit{n}}{|}^{1/\mathit{n}}<1.$$

Sie divergiert, wenn

$$\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}|{\mathit{a}}_{\mathit{n}}{|}^{1/\mathit{n}}>1.$$

Gilt

$$\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}|{\mathit{a}}_{\mathit{n}}{|}^{1/\mathit{n}}=1,$$

so kann man nichts aussagen.

Beispiel

Im Falle der harmonischen Reihe

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }\frac{1}{\mathit{k}}\text{ ,}$$

liefert das Wurzelkriterium

$$\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}{\left(\frac{1}{\mathit{n}}\right)}^{1/\mathit{n}}=1$$

und somit kann man nichts aussagen.