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Konvergenzkriterien für unendliche Reihen

Quotientenkriterium von d' Alembert

Theorem
Eine Reihe
k = 1 a k
konvergiert absolut, wenn
lim n a n +1 a n < 1 .
Sie divergiert oder konvergiert nicht absolut, wenn
lim n a n +1 a n > 1 .
Gilt
lim n a n +1 a n = 1 ,
so kann man nichts aussagen.
Beispiel

Betrachten wir die Reihe

k = 0 1 k ! = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! +   .

Zunächst ermitteln wir den Grenzwert der Folge der Reihenglieder:

lim n 1 n ! = 0 .

Die Reihe erfüllt also die notwendige Bedingung für Konvergenz. Im zweiten Schritt wenden wir das Quotientenkriterium an (enthalten die Reihenglieder Fakultäten, ist dies meist ratsam):

lim n a n + 1 a n = lim n n ! ( n + 1 ) ! = lim n 1 n + 1 = 0 .

Die Reihe ist somit konvergent. Ihre Summe ist gleich der Zahl e = 2 , 71828 .

Beispiel

Auf die harmonische Reihe

k = 1 1 k

angewandt ergibt das Quotientenkriterium:

lim n a n + 1 a n = lim n n n + 1 = lim n 1 1 + 1 / n = 1

und somit kann man nichts aussagen.

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