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Konvergenzkriterien für unendliche Reihen

Vergleichskriterium (Majoranten und Minorantenkriterium)

Können wir uns zur betrachteten Reihe A = a 1 + a 2 + a 3 + eine zweite Reihe B = b 1 + b 2 + b 3 + so konstruieren, dass für alle i gilt: a i b i . B ist dann eine Majorante zu A . Konvergiert die Reihe B so gilt, dass auch die Reihe A konvergiert. Können wir aber B so konstruieren, dass für alle i gilt: a i b i . Dann ist B eine Minorante zu A . Divergiert die Reihe B , so muss auch A divergieren.

Theorem
Eine positive Reihe k = 1 a k konvergiert, wenn jedes Glied kleiner oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten konvergenten Reihe k = 1 b k ist.
Eine positive Reihe k = 1 a k divergiert, wenn jedes Glied größer oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten divergenten Reihe k = 1 b k ist.

Als Vergleichsreihe tritt die p -Reihe oft auf:

B = 1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + ,

die für p > 1 konvergiert und für p 1 divergiert. Für p = 1 ist sie die harmonische Reihe.

Beispiel

Die Reihe

A = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +

hat das allgemeine Glied a k = 1 k , das größer oder gleich dem entsprechenden Glied a k = 1 k der harmonischen Reihe ist. Da die harmonische Reihe divergiert, muss auch die Reihe A divergieren.

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