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Konvergenzkriterien für unendliche Reihen

Integralkriterium von Cauchy

Sei das allgemeine Glied in der monoton fallenden positiven Reihe k = 1 a k durch a k = f ( k ) gegeben, wobei f ( x ) eine monoton fallende positive Funktion einer kontinuierlichen Variablen x sei. Die Reihe konvergiert, wenn

1 f ( x ) d x

existiert (endlich und eindeutig). Sie divergiert, wenn nicht existiert.

Beispiel

Die harmonische Reihe k = 1 1 k divergiert, da das Integral

1 1 x d x = ln ( x ) 1 = ln ( ) - 0

nicht existiert ( ln ( x ) also x ).

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