Integralkriterium von Cauchy

Sei das allgemeine Glied in der monoton fallenden positiven Reihe ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}$ durch ${\mathit{a}}_{\mathit{k}}=\mathit{f}(\mathit{k})$ gegeben, wobei $\mathit{f}(\mathit{x})$ eine monoton fallende positive Funktion einer kontinuierlichen Variablen $\mathit{x}$ sei. Die Reihe konvergiert, wenn

$$\underset{1}{\overset{\infty }{\int }}\mathit{f}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}$$

existiert (endlich und eindeutig). Sie divergiert, wenn nicht existiert.

Beispiel

Die harmonische Reihe ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }\frac{1}{\mathit{k}}$ divergiert, da das Integral

$$\underset{1}{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}={\left[ln(\mathit{x})\right]}_1^{\infty }=ln(\infty )-0$$

nicht existiert ($ln(\mathit{x})\to \infty$ also $\mathit{x}\to \infty$).