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Konvergenzkriterien für unendliche Reihen

Unendliche Reihen - Konvergenzkriterien

Betrachten wir zunächst die harmonische Reihe

S = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +   .

Auf den ersten Blick mag es so scheinen, als ob die Reihe konvergiert, da die Reihenglieder ja immer kleiner werden. Um die Frage nach der Konvergenz beantworten zu können, zerlegen wir die Reihe in eine Summe von Partialsummen

S = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + + 1 16 + = 1 + 1 2 + s 1 + s 2 + s 3 +   .

Jede Partialsumme s n enthält 2 n Terme, die alle größer oder gleich 1 / 2 n +1 sind. Daraus folgt für jede Partialsumme

s n 2 n 1 2 n +1 s n 1 2

gilt. Damit ist die Summe der Partialsummen

S 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 +   

also ist die Reihe divergent.

Wie können wir allgemein feststellen, ob die Folge der Partialsummen konvergiert, eine Reihe also einen Grenzwert für n gegen unendlich besitzt? Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe

k = 1 = a 1 + a 2 +

ist, dass die Folge { a k } der Reihenglieder gegen 0 konvergiert:

a k 0 für k   .

Ist diese Bedingung erfüllt, so müssen wir im nächsten Schritt die Konvergenz der Reihe durch Anwendung eines Tests prüfen, denn nicht alle Reihen, für die obige Bedingung gilt, sind unbedingt konvergent (siehe harmonische Reihe). Erfüllt eine Reihe ein Kriterium (auch hinreichende Bedingung genannt) dieses Tests, so ist sie konvergent.

Theorem
Konvergiert
k = 1 a k ,
dann gilt:
lim k a k = 0 .
Die Umkehrung gilt nicht, z.B. harmonische Reihe.
Absolut konvergente Reihe
Eine Reihe k = 1 a k mit gemischten (positiven und negativen) Gliedern nennt man absolut konvergent, wenn k = 1 | a k | konvergiert.

Folglich ist jede konvergente positive Reihe absolut konvergent.

Theorem
Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.
Beispiel

Die Reihe

1 - 1 2 + 1 4 - 1 8 +

ist konvergent, da die entsprechende positive Reihe

k = 1 1 2 k - 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +

konvergent ist (geometrische Reihe mit | x | < 1 ).

Bedingt konvergente Reihe
Konvergiert k = 1 a k und divergiert k = 1 | a k | , so heißt k = 1 a k bedingt konvergent.
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