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Reihen

Regeln für das Rechnen mit Reihen

Es stellt sich mitunter die Frage, wie sich das Konvergenzverhalten einer Reihe ändert, wenn wir die Reihe manipulieren. Multiplizieren wir z.B. alle Glieder einer Reihe mit einem Faktor c , so ändert sich das Konvergenzverhalten der Reihe nicht und es gilt nach den Rechenregeln für Summen:

k = 1 c a k = c k = 1 a k = c S .

Haben wir zwei konvergente Reihen, so können wir sie gliedweise subtrahieren oder addieren. Ist also S = k = 1 u k und T = k = 1 v k , so erhalten wir:

k = 1 u k ± k = 1 v k = k = 1 ( u k ± v k ) = S ± T .

Haben wir zwei absolut konvergente Reihen, so können wir sie wie zwei Polynome miteinander multiplizieren und wir erhalten wieder eine konvergente Reihe. Sind

S = k = 1 u k und T = k = 1 v k

absolut konvergent, so gilt:

W = k = 1 w k = S T

mit

w k = u k v 1 + u k v 2 + u k v 3 +   .

Außerdem gilt für absolut konvergente Reihen, dass sich die Summe der Reihe bei beliebigen Vertauschungen der Reihenfolge der Glieder nicht ändert. Dagegen kann die Summe einer bedingt konvergenten Reihe durch geeignete Umstellung der Summenglieder jeden beliebigen Wert annehmen (Riemann´scher Umordnungssatz).

Theorem
Ist k = 1 a k eine konvergente, aber nicht absolut konvergente unendliche Reihe und wird S beliebig vorgegeben, so gibt es eine Umordnung k = 1 b k der Reihe mit k = 1 b k = S .
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