Differenzenmethode

Die Summation lässt sich mitunter durch einen weiteren Trick vereinfachen. Dies verdeutlicht das folgende Beispiel:

$${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}\frac{1}{\mathit{k}(\mathit{k}+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\mathit{n}(\mathit{n}+1)}\text{.}$$

Den allgemeinen Term der Summe können wir, wenn wir ihn uns etwas näher anschauen, in eine Differenz von zwei Termen umformen:

$$\frac{1}{\mathit{k}(\mathit{k}+1)}=\frac{1}{\mathit{k}}-\frac{1}{\mathit{k}+1}.$$

${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ ist also gleich einer Differenz von zwei Teilsummen:

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}\frac{1}{\mathit{k}(\mathit{k}+1)}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}\frac{1}{\mathit{k}}-\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}\frac{1}{\mathit{k}+1}.$$

Weiter ist erkennbar, dass nur der erste Term der ersten Summe und der letzte Term der zweiten Summe übrig bleiben, alle anderen heben sich gegenseitig weg:

$${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{\mathit{n}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{\mathit{n}+1}\right).$$

Daher gilt:

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}\frac{1}{\mathit{k}(\mathit{k}+1)}=1-\frac{1}{\mathit{n}+1}=\frac{\mathit{n}}{\mathit{n}+1}.$$

Auf diesem Weg ist es oft möglich, die Summe einer Reihe zu berechnen. Voraussetzung ist, dass der allgemeine Term ${\mathit{a}}_{\mathit{k}}$ sich als Differenz zweier Terme um eins verschiedener Indizes schreiben lässt:

$${\mathit{a}}_{\mathit{k}}={\mathit{b}}_{\mathit{k}}-{\mathit{b}}_{\mathit{k}-1}.$$

Dann gilt:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{a}}_{\mathit{k}}& =& \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{b}}_{\mathit{k}}-\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{b}}_{\mathit{k}-1}\\ & =& ({\mathit{b}}_1+{\mathit{b}}_2+\dots +{\mathit{b}}_{\mathit{n}-1}+{\mathit{b}}_{\mathit{n}})-({\mathit{b}}_0+{\mathit{b}}_1+\dots +{\mathit{b}}_{\mathit{n}-1})\\ & =& {\mathit{b}}_{\mathit{n}}-{\mathit{b}}_0\text{.}\end{array}$$