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Reihen

Differenzenmethode

Die Summation lässt sich mitunter durch einen weiteren Trick vereinfachen. Dies verdeutlicht das folgende Beispiel:

S n = k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 n ( n + 1 ) .

Den allgemeinen Term der Summe können wir, wenn wir ihn uns etwas näher anschauen, in eine Differenz von zwei Termen umformen:

1 k ( k + 1 ) = 1 k - 1 k + 1 .

S n ist also gleich einer Differenz von zwei Teilsummen:

k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = k = 1 n 1 k - k = 1 n 1 k + 1 .

Weiter ist erkennbar, dass nur der erste Term der ersten Summe und der letzte Term der zweiten Summe übrig bleiben, alle anderen heben sich gegenseitig weg:

S n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n - 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n + 1 .

Daher gilt:

k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 - 1 n + 1 = n n + 1 .

Auf diesem Weg ist es oft möglich, die Summe einer Reihe zu berechnen. Voraussetzung ist, dass der allgemeine Term a k sich als Differenz zweier Terme um eins verschiedener Indizes schreiben lässt:

a k = b k - b k -1 .

Dann gilt:

a k = k = 1 n b k - k = 1 n b k -1 = ( b 1 + b 2 + + b n -1 + b n ) - ( b 0 + b 1 + + b n -1 ) = b n - b 0 .
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