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Reihen

Binomialreihe

Wir betrachten die geometrische Reihe

a + a x + a x 2 + a x 3 + + a x n - 1 = a 1 - x n 1 - x ( x 1 ) .

Für a = 1 ergibt sich die Gleichung:

1 + x + x 2 + x 3 + + x n -1 = 1 - x n 1 - x .

Wir können also einerseits die geometrische Reihe durch den Bruch ( 1 - x n ) / ( 1 - x ) berechnen, andererseits lässt sich der Bruch durch eine Potenzreihe ausdrücken. Etwas Ähnliches wollen wir mit dem Term ( 1 + x ) n probieren. Es gilt:

( 1 + x ) 0 = 1 ( 1 + x ) 1 = 1 + x ( 1 + x ) 2 = 1 + 2 x + x 2 ( 1 + x ) 3 = 1 + 3 x + 3 x 2 + x 3 ( 1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1 ) 2 ! x 2 + n ( n - 1 ) ( n - 2 ) 3 ! x 3 + + x n .

Diese Reihe heißt die Binomialreihe. Der Faktor vor x k

n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - k + 1 ) k !

ist der Binomialkoeffizient und wird

n k = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - k + 1 ) k ! = n ! k ! ( n - k ) !

geschrieben. Der Binomialkoeffizient hat eine wichtige Rolle in der Kombinatorik. In einer allgemeineren Form lautet die Binomialreihe:

( x + y ) n = k = 0 n n k x k y n - k .

Dies ist der so genannte Binomische Satz, der für alle reellen Zahlen x , y und alle natürlichen Zahlen n gilt. Die Werte der Binomialkoeffizienten bilden dabei jeweils eine Zeile im Pascal´schen Dreieck.

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1

Die n +1 Zahlen in der n -ten Zeile des Pascal´schen Dreiecks sind

n 0 , n 1 , , n n ,

d.h.

n = 0 0 0 n = 1 1 0 1 1 n = 2 2 0 2 1 2 2 n = 3 3 0 3 1 3 2 3 3 n = 4 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4

und sind nach dem folgenden Gesetz

n k = n -1 k -1 + n -1 k

gebildet.

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