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Reihen

Geometrische Reihe

Für die geometrische Reihe, die wir entsprechend aus der geometrischen Folge erhalten, gilt

S n = k = 1 n -1 a x k = a + a x + a x 2 + a x 3 + + a x n - 1 .

Zur Durchführung der Summation multiplizieren wir S n mit x :

x S n = a x + a x 2 + a x 3 + + a x n

und ziehen beide Reihen voneinander ab:

S n - x S n = a - a x n = a ( 1 - x n ) .

Durch einfache Umformung entsteht daraus:

S n = a 1 - x n 1 - x ( x 1 ) .

Da

lim n x n = 0 | x | < 1 | x | > 1

ist, konvergiert die unendliche geometrische Reihe für | x | < 1 und divergiert für | x | > 1 :

lim n S n = a 1 - x | x | < 1 | x | > 1 .

Für | x | = 1 ergibt sich die divergente Reihe a + a + a + oder a - a + a - a + .

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