Geometrische Reihe

Für die geometrische Reihe, die wir entsprechend aus der geometrischen Folge erhalten, gilt

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}& =& \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}-1}\mathit{a}{\mathit{x}}^{\mathit{k}}\\ & =& \mathit{a}+\mathit{a}\mathit{x}+\mathit{a}{\mathit{x}}^2+\mathit{a}{\mathit{x}}^3+\dots +\mathit{a}{\mathit{x}}^{\mathit{n}-1}\text{.}\end{array}$$

Zur Durchführung der Summation multiplizieren wir ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ mit $\mathit{x}$:

$$\mathit{x}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\mathit{a}\mathit{x}+\mathit{a}{\mathit{x}}^2+\mathit{a}{\mathit{x}}^3+\dots +\mathit{a}{\mathit{x}}^{\mathit{n}}$$

und ziehen beide Reihen voneinander ab:

$${\mathit{S}}_{\mathit{n}}-\mathit{x}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\mathit{a}-\mathit{a}{\mathit{x}}^{\mathit{n}}=\mathit{a}(1-{\mathit{x}}^{\mathit{n}})\text{.}$$

Durch einfache Umformung entsteht daraus:

$${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\mathit{a}\frac{1-{\mathit{x}}^{\mathit{n}}}{1-\mathit{x}}(\mathit{x}\ne 1)\text{.}$$

Da

$$\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}{\mathit{x}}^{\mathit{n}}=\left\{\begin{array}{cl}0& |\mathit{x}|<1\\ \infty & |\mathit{x}|>1\end{array}\right.$$

ist, konvergiert die unendliche geometrische Reihe für $|\mathit{x}|<1$ und divergiert für $|\mathit{x}|>1$:

$$\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathit{a}}{1-\mathit{x}}& |\mathit{x}|<1\\ \infty & |\mathit{x}|>1\text{.}\end{array}\right.$$

Für $|\mathit{x}|=1$ ergibt sich die divergente Reihe $\mathit{a}+\mathit{a}+\mathit{a}+\dots$ oder $\mathit{a}-\mathit{a}+\mathit{a}-\mathit{a}+\dots$.