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Reihen

Arithmetische Reihe

Aus der arithmetischen Folge a n = a + d ( n - 1 ) entsteht demgemäß die arithmetische Reihe mit den einzelnen Folgengliedern:

S n = k = 1 n [ a + d ( k - 1 ) ] = a + [ a + d ] + [ a + 2 d ] + [ a + 3 d ] + + [ a + ( n - 1 ) d ] .

Die Summation führen wir mit einem vom Schulknaben Gauß gefundenen Trick durch. Für n gerade addieren wir das Erste zum n -ten Glied, das zweite zum ( n -1 ) -ten und so weiter, und erhalten dadurch n / 2 identische Terme [ 2 a + ( n - 1 ) d ] :

S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n -1 ) + ( a 3 + a n -2 ) + + ( a n / 2 + a n / 2 +1 ) n 2 gleiche Glieder = ( a + a + d ( n - 1 ) ) n 2 .

Für ungerade n erhalten wir ( n -1 ) / 2 identische Terme [ 2 a + ( n - 1 ) d ] und das a ( n +1 ) / 2 -te Glied bleibt übrig.

S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n -1 ) + ( a 3 + a n -2 ) + + ( a ( n -1 ) / 2 + a ( n -1 ) / 2 +2 ) + a ( n +1 ) / 2 = ( a + a + d ( n - 1 ) ) ( n -1 ) 2 + a + ( n +1 ) 2 - 1 d = n 2 ( 2 a + d ( n - 1 ) ) - a - d ( n -1 ) 2 + a + d ( n -1 ) 2

Für S n gilt also:

S n = n 2 [ 2 a + ( n -1 ) d ] .
Beispiel

Bilde die Summe S = 1 + 2 + 3 + + 100 . Man erkennt S als Summe von 50 gleichen Gliedern:

S = ( 1 + 100 ) + ( 2 + 99 ) + ( 3 + 98 ) + + ( 50 + 51 ) 50 gleiche Glieder = 101 50 = 5050 .

S ist eine arithmetische Reihe ( a = 1 , d = 1 , n = 100 ). Die Formel ergibt

S = 100 2 [ 2 + 99 1 ] = 50 101 = 5050 .

Die unendliche arithmetische Reihe divergiert

lim n S n = .
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