Arithmetische Reihe

Aus der arithmetischen Folge ${\mathit{a}}_{\mathit{n}}=\mathit{a}+\mathit{d}(\mathit{n}-1)$ entsteht demgemäß die arithmetische Reihe mit den einzelnen Folgengliedern:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}& =& \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}[\mathit{a}+\mathit{d}(\mathit{k}-1)]\\ & =& \mathit{a}+[\mathit{a}+\mathit{d}]+[\mathit{a}+2\mathit{d}]+[\mathit{a}+3\mathit{d}]+\dots +[\mathit{a}+(\mathit{n}-1)\mathit{d}]\text{.}\end{array}$$

Die Summation führen wir mit einem vom Schulknaben Gauß gefundenen Trick durch. Für $\mathit{n}$ gerade addieren wir das Erste zum $\mathit{n}$-ten Glied, das zweite zum $(\mathit{n}-1)$-ten und so weiter, und erhalten dadurch $\mathit{n}/2$ identische Terme $[2\mathit{a}+(\mathit{n}-1)\mathit{d}]$:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}& =& ({\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_{\mathit{n}})+({\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_{\mathit{n}-1})+({\mathit{a}}_3+{\mathit{a}}_{\mathit{n}-2})+\dots +({\mathit{a}}_{\mathit{n}/2}+{\mathit{a}}_{\mathit{n}/2\mathrm{+1}})\frac{\mathit{n}}{2}\text{gleiche Glieder}\\ & =& (\mathit{a}+\mathit{a}+\mathit{d}(\mathit{n}-1))\cdot \frac{\mathit{n}}{2}.\end{array}$$

Für ungerade $\mathit{n}$ erhalten wir $(\mathit{n}-1)/2$ identische Terme $[2\mathit{a}+(\mathit{n}-1)\mathit{d}]$ und das ${\mathit{a}}_{(\mathit{n}\mathrm{+1})/2}$-te Glied bleibt übrig.

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}& =& ({\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_{\mathit{n}})+({\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_{\mathit{n}-1})+({\mathit{a}}_3+{\mathit{a}}_{\mathit{n}-2})+\dots +({\mathit{a}}_{(\mathit{n}-1)/2}+{\mathit{a}}_{(\mathit{n}-1)/2\mathrm{+2}})+{\mathit{a}}_{(\mathit{n}\mathrm{+1})/2}\\ & =& (\mathit{a}+\mathit{a}+\mathit{d}(\mathit{n}-1))\cdot \frac{(\mathit{n}-1)}{2}+\mathit{a}+\left(\frac{(\mathit{n}\mathrm{+1})}{2}-1\right)\mathit{d}\\ & =& \frac{\mathit{n}}{2}(2\mathit{a}+\mathit{d}(\mathit{n}-1))-\mathit{a}-\frac{\mathit{d}(\mathit{n}-1)}{2}+\mathit{a}+\frac{\mathit{d}(\mathit{n}-1)}{2}\end{array}$$

Für ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ gilt also:

$${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\frac{\mathit{n}}{2}[2\mathit{a}+(\mathit{n}-1)\mathit{d}]\text{.}$$

Beispiel

Bilde die Summe $\mathit{S}=1+2+3+\dots +100$. Man erkennt $\mathit{S}$ als Summe von $50$ gleichen Gliedern:

$$\begin{array}{rcl}\mathit{S}& =& (1+100)+(2+99)+(3+98)+\dots +(50+51)50\text{gleiche Glieder}\\ & =& 101\cdot 50\\ & =& 5050.\end{array}$$

$\mathit{S}$ ist eine arithmetische Reihe ($\mathit{a}=1,\mathit{d}=1,\mathit{n}=100$). Die Formel ergibt

$$\mathit{S}=\frac{100}{2}[2+99\cdot 1]=50\cdot 101=5050.$$

Die unendliche arithmetische Reihe divergiert

$$\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\infty .$$