Reihen
Was ist eine Reihe - Folgen von Partialsummen
Eine wichtige Eigenschaft von Zahlenfolgen sind die Summen ihrer ersten Glieder. Sie heißen Partialsummen und erhalten das Symbol . Nehmen wir die Folge , so addieren wir die ersten 1, 2 oder 3 Glieder usw. Wir erhalten usw. Ist die allgemeine Folge gegeben, so gilt:
Die Partialsummen bilden wiederum eine Folge , eine solche Folge heißt Reihe. Der Begriff Reihe wird allerdings auch für die Summe der Terme selber benutzt, d.h. die Summe
wird als endliche Reihe bezeichnet. Entsprechend heißt
unendliche Reihe. Wenn die Folge der Partialsummen konvergiert, so ist die Reihe konvergent, sonst divergent. Haben wir eine konvergente Reihe, so können wir den Grenzwert bilden,
Diesen Grenzwert bezeichnen wir als Summe der Reihe und wir schreiben:
- Konvergenz einer Reihe
- Eine Reihe konvergiert gegen als Grenzwert, wenn die Folge der Partialsummen gegen konvergiert.
Existiert
nicht, so heißt die Reihe divergent.
Eine Reihe , deren Glieder alle positiv bzw. negativ sind, nennt man eine positive bzw. negative Reihe. Eine Reihe , deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind, nennt man eine alternierende Reihe, z.B.: