Was ist eine Reihe - Folgen von Partialsummen

Eine wichtige Eigenschaft von Zahlenfolgen sind die Summen ihrer ersten $\mathit{n}$ Glieder. Sie heißen Partialsummen und erhalten das Symbol ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$. Nehmen wir die Folge $1,3,5,7,\dots$, so addieren wir die ersten 1, 2 oder 3 Glieder usw. Wir erhalten ${\mathit{S}}_1=1,{\mathit{S}}_2=4,{\mathit{S}}_3=9$ usw. Ist die allgemeine Folge ${\mathit{a}}_1,{\mathit{a}}_2,{\mathit{a}}_3,\dots$ gegeben, so gilt:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{S}}_1& =& {\mathit{a}}_1\\ {\mathit{S}}_2& =& {\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_2\\ {\mathit{S}}_3& =& {\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_3\\ ⋮& & \\ {\mathit{S}}_{\mathit{n}}& =& {\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_2+\dots +{\mathit{a}}_{\mathit{n}}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{a}}_{\mathit{k}}\text{ .}\end{array}$$

Die Partialsummen bilden wiederum eine Folge ${\mathit{S}}_1,{\mathit{S}}_2,{\mathit{S}}_3,\dots$, eine solche Folge heißt Reihe. Der Begriff Reihe wird allerdings auch für die Summe der Terme selber benutzt, d.h. die Summe

$${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{a}}_{\mathit{k}}={\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_3+\dots +{\mathit{a}}_{\mathit{n}}$$

wird als endliche Reihe bezeichnet. Entsprechend heißt

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}={\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_3+\dots$$

unendliche Reihe. Wenn die Folge der Partialsummen $\{{\mathit{S}}_{\mathit{n}}\}$ konvergiert, so ist die Reihe konvergent, sonst divergent. Haben wir eine konvergente Reihe, so können wir den Grenzwert bilden,

$$\mathit{S}=\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}\left(\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{a}}_{\mathit{k}}\right)\text{.}$$

Diesen Grenzwert $\mathit{S}$ bezeichnen wir als Summe der Reihe und wir schreiben:

$$\mathit{S}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}={\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_3+\dots \text{.}$$

Konvergenz einer Reihe

Eine Reihe ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}$ konvergiert gegen $\mathit{S}$ als Grenzwert, wenn die Folge der Partialsummen gegen $\mathit{S}$ konvergiert.

Existiert

$$\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}{\mathit{S}}_{\mathit{n}}$$

nicht, so heißt die Reihe divergent.

Eine Reihe ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}$, deren Glieder alle positiv bzw. negativ sind, nennt man eine positive bzw. negative Reihe. Eine Reihe ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}$, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind, nennt man eine alternierende Reihe, z.B.:

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }(-1{)}^{\mathit{k}-1}{\mathit{a}}_{\mathit{k}}={\mathit{a}}_1-{\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_3-{\mathit{a}}_4+\dots +\text{ .}$$