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Reihen

Was ist eine Reihe - Folgen von Partialsummen

Eine wichtige Eigenschaft von Zahlenfolgen sind die Summen ihrer ersten n Glieder. Sie heißen Partialsummen und erhalten das Symbol S n . Nehmen wir die Folge 1 , 3 , 5 , 7 , , so addieren wir die ersten 1, 2 oder 3 Glieder usw. Wir erhalten S 1 = 1 , S 2 = 4 , S 3 = 9 usw. Ist die allgemeine Folge a 1 , a 2 , a 3 , gegeben, so gilt:

S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 S n = a 1 + a 2 + + a n = k = 1 n a k  .

Die Partialsummen bilden wiederum eine Folge S 1 , S 2 , S 3 , , eine solche Folge heißt Reihe. Der Begriff Reihe wird allerdings auch für die Summe der Terme selber benutzt, d.h. die Summe

S n = k = 1 n a k = a 1 + a 2 + a 3 + + a n

wird als endliche Reihe bezeichnet. Entsprechend heißt

k = 1 a k = a 1 + a 2 + a 3 +

unendliche Reihe. Wenn die Folge der Partialsummen { S n } konvergiert, so ist die Reihe konvergent, sonst divergent. Haben wir eine konvergente Reihe, so können wir den Grenzwert bilden,

S = lim n S n = lim n k = 1 n a k .

Diesen Grenzwert S bezeichnen wir als Summe der Reihe und wir schreiben:

S = k = 1 a k = a 1 + a 2 + a 3 + .
Konvergenz einer Reihe
Eine Reihe k = 1 a k konvergiert gegen S als Grenzwert, wenn die Folge der Partialsummen gegen S konvergiert.

Existiert

lim n S n

nicht, so heißt die Reihe divergent.

Eine Reihe k = 1 a k , deren Glieder alle positiv bzw. negativ sind, nennt man eine positive bzw. negative Reihe. Eine Reihe k = 1 a k , deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind, nennt man eine alternierende Reihe, z.B.:

k = 1 ( -1 ) k -1 a k = a 1 - a 2 + a 3 - a 4 + +  .
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