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Zahlenfolgen und Grenzwerte

Reelle Zahlen als Grenzwert einer Folge

Sei { a n } eine monoton wachsende beschränkte Folge. Als unendliche Dezimalbrüche ausgedrückt sind die Folgenglieder

a 1 = q 1 , r 1 s 1 t 1 , a 2 = q 2 , r 2 s 2 t 2 , a 3 = q 3 , r 3 s 3 t 3 ,

wobei die q i ganze Zahlen und die r i , s i , t i , Ziffern von 0 bis 9 sind. Da die Folge beschränkt ist, können die q i nicht immer zunehmen. Nach Erreichen eines Höchstwertes q müssen sie konstant bleiben. Ebenso gilt dies für r i , s i , t i , . In der ersten Spalte von müssen die r i einen Höchstwert x 1 erreichen, in der zweiten Spalte müssen die s i einen Höchstwert x 2 erreichen, usw.. Der Grenzwert der Folge { a n } ist die Zahl

a = q , x 1 x 2 x 3 .

Wählt man eine beliebige positive Zahl ε 10 - m , m , für die gilt

0 < | a - a n | < ε für alle n N ε ,

dann stimmen für alle n < N ε , d.h. die ersten m Zeilen von , der ganzzahlige Anteil und die ersten m Ziffern überein. Dies definiert eine Zahl als Grenzwert einer Folge.

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