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Zahlenfolgen und Grenzwerte

Monotone Folgen

Die arithmetische Folge

1 , 3 , 5 , 7 ,

hat die Eigenschaft, dass a n +1 > a n für alle n ist, d.h. sie nimmt monoton zu oder ist steigend. dagegn ist die geometrische Folge

1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,

fallend, d.h. sie nimmt monoton ab, da a n +1 < a n für alle n ist.

Monoton steigend und monoton fallende Folge
Eine Folge { a n } heißt monoton steigend, wenn
a 1 a 2 a 3 a n
gilt, und monoton fallend, wenn
a 1 a 2 a 3 a n
gilt.

Eine Folge heißt beschränkt, wenn es zwei Zahlen m und M gibt, sodass m a n M für alle n gilt. m heißt die untere und M die obere Schranke der Folge. Die Folge ist nicht beschränkt, da sie keine obere Schranke hat. Die Folge

3 2 , 5 4 , 7 6 , , 2 n +1 2 n ,

ist beschränkt, da 1 a n 1,5 für alle n gilt.

Abb.1
Beschränkte Folge 2 n +1 2 n

Daraus ergeben sich zwei Sätze:

Theorem
Jede beschränkte, monoton steigende (monoton fallende) Folge ist konvergent.

und

Theorem
Jede unbeschränkte Folge ist divergent.
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