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Zahlenfolgen und Grenzwerte

Der Grenzwert einer Folge

Eine spezielle Folge ist die harmonische Folge { 1/n }

1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 ,    .

Lassen wir n unbeschränkt wachsen, so werden die Folgenglieder immer kleiner und nähern sich dem Wert 0 . Dies drücken wir in folgender Form aus:

lim n 1 n = 0    .

Der Ausdruck links heißt Limes oder Grenzwert der Folge. Die Glieder der Folge drängen sich um den Punkt 0 zusammen. Dies lässt sich geometrisch folgendermaßen deuten. Man wählt ein beliebiges offenes Intervall I ε mit dem Mittelpunkt 0 (der Grenzwert der Folge) und einer Gesamtbreite 2 ε .

Abb.1
Folge { 1 / n }

Wählt man ε = 2 , liegen alle Folgenglieder im Intervall I ε . Wählt man ε = 0,1 (siehe Abbildung (Abb. 1) ), liegen die ersten 10 Folgenglieder außerhalb des Intervalls I ε , während die Folgenglieder a 11 , a 12 , a 13 , (d.h. unendlich viele Glieder) innerhalb I ε liegen. Wählt man ε = 0,01, liegen die Folgenglieder a 101 , a 102 , a 103 , innerhalb I ε . Daraus folgt, dass für ein beliebiges Intervall I ε alle Folgenglieder a n für n N ε innerhalb I ε liegen.

Tab.1
N ε hängt von ε ab
ε N ε
21
0,111
0,01101
0,0011001

Die Limesrelation hat einen bestimmten Sinn. Zuerst wählt man eine beliebige positive Zahl ε , um ein Intervall zu erzeugen von der Breite 2 ε und Mittelpunkt 0 . Dann gibt es eine natürliche Zahl N ε , sodass alle Folgenglieder a n für n N ε innerhalb I ε liegen. Wichtig ist, dass nur eine endliche Anzahl von Folgengliedern außerhalb des Intervalls liegen. Wenn ε sehr klein wird, wird N ε sehr groß, gleichwohl bleibt es aber endlich. Trifft dies zu, dann besitzt die Folge einen Grenzwert. Fast alle Zahlen a n liegen innerhalb von I ε .

Für eine Folge a 1 , a 2 , a 3 , mit dem Grenzwert a schreibt man

lim n a n = a .

oder

a n a , wenn n .

Dies bedeutet, dass eine beliebige positive Zahl ε und eine zugehörige natürliche Zahl N ε existieren, sodass

0 < | a - a n | < ε für alle n N ε

ist. Anders ausgedrückt:

a n I ε für alle n N ε ,

wobei I ε = ( a - ε , a + ε ) ( ε -Umgebung von a ) ist.

Beispiel

Die Folge

1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,

besitzt das allgemeine Glied

a n = n n +1 .

Wir behaupten, dass der Grenzwert

lim n n n +1 = 1

ist. Wählt man ein Intervall I ε von der Breite 2 ε mit Mittelpunkt 1 und ε = 0,1 , dann sucht man eine natürliche Zahl N ε , sodass alle Folgenglieder a n für n N ε innerhalb I ε liegen, d.h.

1 - n n +1 < 0,1 für alle n N ε

oder

1 n +1 < 0,1 n +1 > 10 n 10 ,

also ist N ε = 10 . Bei der Wahl eines anderen beliebig kleinen ε läßt sich das entsprechende endliche N ε finden.

Eine Folge heißt konvergent (sie konvergiert gegen ihren Grenzwert) wenn sie genau einen endlichen Grenzwert besitzt. Andernfalls ist sie divergent. Ein Beispiel für eine divergente Folge ist die arithmetische Folge:

lim n [ a + d ( n - 1 ) ] = a 2 + d 2 > 0    .

Das Symbol darf nicht als Zahl betrachtet werden. Ausdrücke wie 1 = 0 sind daher nicht zulässig.

Die Folge nähert sich dem Grenzwert 0 nur von einer Seite her. Hingegen nähert sich die Folge

-1 , 1 2 , - 1 3 , 1 4 , , ( -1 ) n 1 n ,

dem Grenzwert 0 von beiden Seiten.

Abb.2
Konvergente Folge ( -1 ) n 1 n

Eine weitere Folge ist

a n = ( -1 ) n .
Abb.3
Oszillierende Folge { ( -1 ) n }

Solche Folgen, bei denen sich von Glied zu Glied das Vorzeichen umkehrt, nennen wir alternierend oder oszillierend. Sie besitzen mehrere so genannte Häufungswerte (im vorliegenden Fall +1 und -1 ). Folgen mit mehreren Häufungswerten sind unbestimmt divergent, während Folgen ohne Häufungswerte bestimmt divergent sind.

Falls der Grenzwert a einer Folge { a n } nicht bekannt ist, kann das Cauchy-Konvergenzkriterium herangezogen werden.

Theorem
Eine Folge { a n } konvergiert nur, wenn für eine beliebige positive Zahl ε eine zugehörige natürliche Zahl N ε existiert, sodass
| a p - a q | < ε für alle p , q > N ε
gilt.
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