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Zahlenfolgen und Grenzwerte

Koch´sche Insel

Ein interessantes Beispiel von Zahlenfolgen ist die Koch´sche Insel (Schneeflocke). Diese Figur entsteht, wenn man bei einem gleichseitigen Dreieck jeder Kante ein Dreieck mit dreimal kleinerer Seitenlänge aufsetzt und das beliebig oft wiederholt.

Abb.1
Koch´sche Insel: n = 0 , n = 1 und n = 2

Es seien N n die Seitenanzahl, L n die Seitenlänge, l n die Umfangslänge und A n der Flächeninhalt zum n -ten Schritt. Mit einer Anfangsseitenlänge L 0 = 1 sind die Anfangswerte

N 0 = 3 L 0 = 1 l 0 = N n L n = 3 A 0 = 1 2 1 3 2 = 3 4  .

Beim n -ten Schritt erhält man

N n = 3 4 n L n = 1 3 n l n = N n L n = 3 4 3 n A n = A n -1 + 1 4 N n L n 2 A 0  .

Das Bildungsgesetz für A n ist rekursiv. Wir geben es nun in expliziter Form an:

A n = A n -1 + 1 4 N n L n 2 A 0 = A n -1 + 3 4 n 4 1 3 2 n A 0 = A n -1 + 3 4 n -1 9 n A 0 = A n -1 + 1 3 4 9 n -1 A 0 .

Daraus folgt

A 1 = A 0 1 + 1 3 4 9 0 A 2 = A 0 1 + 1 3 4 9 0 + 4 9 1 A 3 = A 0 1 + 1 3 4 9 0 + 4 9 1 + 4 9 2 A n = A 0 1 + 1 3 k = 0 n -1 4 9 k .

Die Summe ist eine geometrische Reihe:

k = 0 n -1 4 9 k = 1 - ( 4 / 9 ) n 1 - 4 / 9 = 9 5 1 - 4 9 n .

Damit lautet das Bildungsgesetz für A n :

A n = A 0 1 + 3 5 1 - 4 9 n .

Die Folge { A n } ist konvergent. Aus folgt

lim n A n = 8 5 A 0 .
Abb.2
Koch´sche Insel: Flächeninhalt { A n }

Die Umfangslänge { l n } kann durch eine geometrische Reihe beschrieben werden,

l n = 3 4 3 n  ,

die divergent ist. Also:

lim n l n = .
Abb.3
Koch´sche Insel: Umfangslänge { l n }

Diese Figur für n besitzt also einen endlichen Flächeninhalt, aber einen unendlichen Umfang. Die Kurve ist nicht differenzierbar und lässt sich auch nicht mit Hilfe der Euklidischen Geometrie beschreiben. Die Dimension d der Figur liegt zwischen Eins und Zwei. Man bezeichnet sie als eine fraktale (also gebrochene) Dimension. Sie beträgt

d = - lim n N n L n = log ( 4 ) log ( 3 ) = 1.2618595   .

Mandelbrot prägte den Begriff des Fraktals für alle Arten von komplexen Figuren, z.B. Küstenlinien, Wolken, Sternenhaufen und Gebirge.

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