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Zahlenfolgen und Grenzwerte

Weitere Sätze über Folgen

Seien zwei konvergente Folgen { a n } und { b n } gegeben:

lim n a n = a und lim n b n = b .

Es gelten folgende Sätze:

Theorem
lim n ( k a n ) = k a , k Konstante
Theorem
lim n ( a n ± b n ) = lim n a n ± lim n b n = a ± b
Theorem
lim n ( a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b

Es seien b 0 und b n 0 . Für alle n gilt:

Theorem
lim n a n b n = lim n a n lim n b n = a b

Ein Satz über geometrische Folgen:

Theorem
lim n x n = 0 | x | < 1 | x | > 1
Beweis

Sei 0 < x < 1 . Dann gibt es eine Zahl a > 0 , für die gilt:

x = 1 1 + a

Folglich ist

1 x n = ( 1 + a ) n .

Nach der Bernoulli´schen Ungleichung ist

( 1 + a ) n 1 + n a für n 1 , a > -1.

Somit ist

1 x n 1 + n a 1 x n > n a > 0 ,

woraus folgt

0 < x n < 1 n a .

Es gilt

lim n 1 n a = 1 a lim n 1 n = 0 .

Damit ist der Satz für 0 < x < 1 bewiesen. Für -1 < x < 0 setzt man x = - 1 1 + a , a > 0 und der Beweis folgt ebenso.

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