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Zahlenfolgen und Grenzwerte

Was ist eine Zahlenfolge (Bildungsgesetz)

Wenn wir z.B. von einer Menge natürlicher Zahlen sprechen, so „sehen” wir sozusagen einen „Sack voller Zahlen”, es besteht keine Ordnung. Wir wenden uns nun dem Fall zu, dass Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge vorliegen, z.B.

1 , 3 , 5 , 7 ,    .

Eine solche Folge kann eine endliche Menge umfassen, z.B.

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11,

aber auch unendlich viele Zahlen enthalten, also

1 , 3 , 5 , 7 ,    .

Die Punkte symbolisieren eine unendliche Fortsetzung. Allgemein können wir solche Mengen als

a 1 , a 2 , a 3 , , a n , , a N

beziehungsweise als

a 1 , a 2 , a 3 , , a n ,

schreiben. Dabei wird a n als das n -te Glied bezeichnet.

Eine Zahlenfolge liegt vor, wenn es möglich ist, eine Gesetzmäßigkeit für die Bildung der Zahlenreihe zu finden, d.h. wenn eine Vorschrift besteht, nach der jedes Glied der Folge berechnet werden kann. Betrachten wir die obigen Zahlen . Unschwer zu erkennen ist, dass die Formel

a n = 1 + 2 ( n - 1 ) , n = 1 , 2 , 3 ,

das n -te Glied der Folge beschreibt. Diese Formel heißt Bildungsgesetz der Zahlenfolge.

Das Bildungsgesetz kann auch rekursiv, d.h. eine Anleitung sein, wie die Glieder aus den vorangehenden Gliedern entstehen. Für unser Beispiel lautet eine solche rekursive Definition:

a n = a n -1 + 2 , a 1 = 1 , n = 1 , 2 , 3 ,

Um die Schreibarbeit zu reduzieren, schreiben wir für eine Folge a 1 , a 2 , a 3 , kurz { a n } .

Diese Überlegungen führen uns zu einer Definition für Folgen:

Unendliche Folge
Eine unendliche Folge { a n } = a 1 , a 2 , a 3 , , a n , = a ( n ) ist eine Funktion von n , deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist.

Eine Folge ist eine Funktion diskreter Veränderlicher und lässt sich in einem gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinatensystem als Punkte grafisch darstellen:

Abb.1
Folge { 1 + 2 ( n - 1 ) }

Beispiele für Zahlenfolgen

Die Zahlenfolge ist ein Beispiel für eine arithmetische Folge. Eine solche liegt vor, wenn ein Glied durch Addition derselben Konstanten zum vorherigen Folgenglied entsteht, d.h. die Folge

a , a + d , a + 2 d , a + 3 d ,

lautet. Das Bildungsgesetz für eine arithmetische Folge hat deshalb die Form

a n = a + d ( n - 1 ) , n = 1 , 2 , 3 , .    .

Betrachten wir nun eine andere Folge:

1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,    .

Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder, etwa

1 2 : 1 4 = 2

hat immer den gleichen konstanten Wert, hier also 2 . Eine Folge mit dieser Eigenschaft nennen wir geometrische Folge. Das Bildungsgesetz lautet:

a n = 1 2 n -1 , n = 1 , 2 , 3 ,
Abb.2
Folge { ( 1 / 2 ) ( n -1 ) }

Allgemein gilt für geometrische Folgen

a n = c x n -1 , n = 1 , 2 , 3 , ,

wobei x eine beliebige reelle Zahl ist.

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