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Geraden- und Ebenengleichung

Vektorielle Darstellung einer Ebene

Drei verschiedene Punkte P 0 , P 1 und P 2 in 3 sind nötig, um eine Ebene π festzulegen. In der vektoriellen Darstellung sind der Ortsvektor r 0 eines auf π liegenden Punktes P 0 und ein auf der Ebene senkrecht stehender Vektor N , den man als Normalvektor bezeichnet, vorzugeben. Den Normalvektor erhält man durch Bildung des Vektorproduktes zweier zu π paralleler nicht-kollinearer Vektoren v 1 und v 2

N = v 1 × v 2 .

Die Vektoren v 1 und v 2 bildet man mittels der zugehörigen Ortsvektoren r 0 , r 1 und r 2 der auf π liegende Punkten P 0 , P 1 und P 2

v 1 = r 1 - r 0 und v 2 = r 2 - r 0 .

Folglich wird Gleichung

N = ( r 1 - r 0 ) × ( r 2 - r 0 ) .

Sei P ein auf π liegender beliebiger Punkt mit zugehörigem Ortsvektor r . Der Normalvektor N steht senkrecht zu dem auf π liegenden Vektor r - r 0 . Dies hat die Folge, dass das Skalarprodukt der Vektoren N und r - r 0 verschwindet

N ( r - r 0 ) = 0

oder

N r = N r 0 = konstant .

In der Komponentendarstellung ist

r = x y z und N = a b c

und wird

a x + b y + c z + d = 0 ,

wobei d = - N r 0 die Konstante in ist. Gleichung stellt die Koordinatenform der Ebenengleichung dar.

Beispiel

Gegeben seien drei Punkte P 1 = ( 0 , 0 , 1 ) , P 2 = ( 1 , 1 , 0 ) und P 3 = ( 1 , 1 , 2 ) in 3 . Bestimmen Sie die Ebene π , in der P 1 , P 2 und P 3 liegen.

Seien r 1 , r 2 und r 3 die zugehörigen Ortsvektoren der Punkte P 1 , P 2 und P 3 . Zwei in π liegende Vektoren sind

v 1 = r 2 - r 1 und v 2 = r 3 - r 1 .

In der Komponentendarstellung sind

v 1 = 1 1 0 - 0 0 1 = 1 1 -1

und

v 2 = 1 1 2 - 0 0 1 = 1 1 1 .

Ein Normalvektor von π ist gegeben durch das Kreuzprodukt zweier nichtkollinearer in π liegenden Vektoren:

N = v 1 × v 2 = i j k v 1 x v 1 y v 1 z v 2 x v 2 y v 2 z = i j k 1 1 -1 1 1 1 .

Rechnet man die Determinante aus, so ergibt sich

N = ( 1 1 - 1 ( -1 ) ) i - ( 1 1 - 1 ( -1 ) ) j + ( 1 1 - 1 1 ) k = 2 i - 2 j + 0 k .

Sei r der zugehörige Ortsvektor eines beliebigen Punktes P in π . Die gesuchte Ebenengleichung ist dann

N ( r - r 1 ) = 0 oder N r = N r 1 .

Somit ist es

( 2 i - 2 j + 0 k ) ( x i + y j + z k ) = ( 2 i - 2 j + 0 k ) ( 0 i + 0 j + 1 k ) 2 x - 2 y = 0

oder

x - y = 0 .

Da die z -Koordinate fehlt, liegt die Ebene π parallel zur z -Achse.

Jeder in π liegende Vektor lässt sich als Linearkombination λ v 1 + μ v 2 , λ , μ von den Vektoren schreiben, d.h. v 1 und v 2 bilden eine Basis von π . Folglich hat in vektorieller Form der laufende Punkt P den Ortsvektor

r = r 0 + λ v 1 + μ v 2 .

Gleichung ist die vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Ebene.

Der senkrechte Abstand p einer Ebene π vom Ursprung O ist die Komponente von einem in π liegenden Punkt z B. r 0 in die Richtung vom Normalvektor N , d.h.

p = r 0 n ,

wobei n = N / | N | ein Einheitsvektor in Richtung N ist.

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