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Geraden- und Ebenengleichung

Vektorielle Darstellung einer Geraden

Um eine Gerade l im Raum 3 analytisch darzustellen, sind die Koordinaten zweier auf l liegenden eindeutigen Punkte P 0 und P 1 anzugeben. Alternativ gibt man nur einen Punkt P 0 zusammen mit einem parallel zu l verlaufenden Richtungsvektor g an. Hat der Punkt P 0 den zugehörigen Ortsvektor r 0 , so hat ein zweiter beliebiger Punkt P auf l den Ortsvektor r , der durch die folgende Vektoraddition gegeben ist

r = r 0 + λ g ,

wobei der Parameter λ eine reelle Zahl ist. λ legt eindeutig die Lage von P fest. In der Komponentenschreibweise lautet

x y z = x 0 y 0 z 0 + λ g x g y g z .

Gleichungen und nennt man die vektorielle Punkt-Richtungs-Form der Geraden. Sind die Koordinaten oder der zugehörige Ortsvektor r 1 des zweiten Punktes P 1 vorgegeben, dann lässt sich der Richtungsvektor wie folgt bestimmen

g = r 1 - r 0 .

Gleichungen und werden dann

r = r 0 + λ ( r 1 - r 0 )

und

x y z = x 0 y 0 z 0 + λ x 1 - x 0 y 1 - y 0 z 1 - z 0 .

und und nennt man die vektorielle Zwei-Punkte-Form der Geraden.

Beispiel

Gegeben seien zwei Punkte P 1 = ( 0 , 0 , 1 ) und P 2 = ( 1 , 1 , 2 ) in 3 . Bestimmen Sie die Vektordarstellung der Geraden l , die durch P 1 und P 2 geht.

Der zugehörige Richtungsvektor von l ist laut gegeben durch die Differenz der zugehörigen Ortsvektoren der Punkte P 1 und P 2

g = r 2 - r 1

oder in der Komponentendarstellung

g x g y g z = 1 1 2 - 0 0 1 = 1 1 1 .

Nach erhält man die gesuchte Gleichung der Geraden l

x y z = x 1 y 1 z 1 + λ g x g y g z = 0 0 1 + λ 1 1 1 = λ λ 1 + λ .

Ein beliebigen Punkt P ( λ ) auf der Geraden l hat die Koordinaten ( λ , λ , 1 + λ ) mit λ , z. B. sind P ( 0 ) = P 1 und P ( 1 ) = P 2 von oben.

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