Das Spatprodukt

Spatprodukt

Seien drei Vektoren $\mathit{u}$, $\mathit{v}$, $\mathit{w}$ gegeben. Ihr so genanntes Spatprodukt oder gemischtes Produkt ist definiert als

$$\mathit{u}\mathit{v}\mathit{w}=\mathit{u}\cdot (\mathit{v}\times \mathit{w}).$$

Es ist offenbar ein Skalar: $\mathit{v}\times \mathit{w}$ ergibt einen Vektor, das Skalarprodukt von $\mathit{u}$ mit $\mathit{v}\times \mathit{w}$ einen Skalar. Es hat die folgenden Eigenschaften, die wir ohne Beweise zur Kenntnis nehmen.

• Der Betrag von $\mathit{u}\mathit{v}\mathit{w}$ stimmt mit dem Rauminhalt des von $\mathit{u}$, $\mathit{v}$, $\mathit{w}$ aufgespannten Parallelepipeds (oder Spats, wie man auch sagt – daher der Name) überein (siehe (Abb. 1) ).
• Was das Vorzeichen betrifft, so gilt$$\begin{array}{cl}\mathit{u}\cdot (\mathit{v}\times \mathit{w})>0& \text{falls}\mathit{u},\mathit{v},\mathit{w}\text{ein Rechtssystem bilden,}\\ \mathit{u}\cdot (\mathit{v}\times \mathit{w})<0& \text{falls}\mathit{u},\mathit{v},\mathit{w}\text{ein Linkssystem bilden,}\\ \mathit{u}\cdot (\mathit{v}\times \mathit{w})=0& \text{falls}\mathit{u},\mathit{v},\mathit{w}\text{linear abhängig sind.}\end{array}$$
• Man darf zyklisch vertauschen, d.h. $$\mathit{u}\mathit{v}\mathit{w}=\mathit{w}\mathit{u}\mathit{v}=\mathit{v}\mathit{w}\mathit{u}.$$
• Vertauscht man in $\mathit{u}\mathit{v}\mathit{w}$ zwei Vektoren, kehrt sich das Vorzeichen um, z.B. gilt$$\mathit{v}\mathit{u}\mathit{w}=-\mathit{v}\mathit{u}\mathit{w},\mathit{u}\mathit{w}\mathit{v}=-\mathit{v}\mathit{u}\mathit{w}.$$
• Das Spatprodukt lässt sich als Determinante (s. unter Empfehlungen) schreiben (und so auch am besten berechnen): $$\mathit{u}\mathit{v}\mathit{w}=\left|\begin{array}{ccc}{\mathit{u}}_1& {\mathit{u}}_2& {\mathit{u}}_3\\ {\mathit{v}}_2& {\mathit{v}}_2& {\mathit{v}}_3\\ {\mathit{w}}_1& {\mathit{w}}_2& {\mathit{w}}_3\end{array}\right|.$$