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Vektorprodukt von Vektoren

Das Spatprodukt

Spatprodukt
Seien drei Vektoren u , v , w gegeben. Ihr so genanntes Spatprodukt oder gemischtes Produkt ist definiert als
u v w = u ( v × w ) .

Es ist offenbar ein Skalar: v × w ergibt einen Vektor, das Skalarprodukt von u mit v × w einen Skalar. Es hat die folgenden Eigenschaften, die wir ohne Beweise zur Kenntnis nehmen.

  • Der Betrag von u v w stimmt mit dem Rauminhalt des von u , v , w aufgespannten Parallelepipeds (oder Spats, wie man auch sagt – daher der Name) überein (siehe (Abb. 1) ).
  • Was das Vorzeichen betrifft, so gilt u ( v × w ) > 0 falls u , v , w ein Rechtssystem bilden, u ( v × w ) < 0 falls u , v , w ein Linkssystem bilden, u ( v × w ) = 0 falls u , v , w linear abhängig sind.
  • Man darf zyklisch vertauschen, d.h. u v w = w u v = v w u .
  • Vertauscht man in u v w zwei Vektoren, kehrt sich das Vorzeichen um, z.B. gilt v u w = - v u w , u w v = - v u w .
  • Das Spatprodukt lässt sich als Determinante (s. unter Empfehlungen) schreiben (und so auch am besten berechnen): u v w = u 1 u 2 u 3 v 2 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 .
Abb.1
Das von u , v , w aufgespannte Parallelepiped ( = Spat). Sein Volumen ist vom Betrag her mit dem Spatprodukt identisch
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