Komponentenform des Vektorprodukts

Sei eine Basis ${\mathit{b}}_1$, ${\mathit{b}}_2$, ${\mathit{b}}_3$ gegeben. Seien $\mathit{u}$ und $\mathit{v}$ beliebige Vektoren. Sie lassen sich als Linearkombinationen

$$\mathit{u}={\mathit{u}}_1{\mathit{b}}_1+{\mathit{u}}_2{\mathit{b}}_2+{\mathit{u}}_3{\mathit{b}}_3=\sum _{\mathit{k}=1}^3{\mathit{u}}_{\mathit{k}}{\mathit{b}}_{\mathit{k}}$$

und

$$\mathit{v}={\mathit{v}}_1{\mathit{b}}_1+{\mathit{v}}_2{\mathit{b}}_2+{\mathit{v}}_3{\mathit{b}}_3=\sum _{\mathit{k}=1}^3{\mathit{v}}_{\mathit{k}}{\mathit{b}}_{\mathit{k}}$$

schreiben. Mit den Rechenregeln des Vektorprodukts entsteht analog zur Vorgehensweise wie bei der Komponentenform des Skalarprodukts (siehe dort) die folgende Gleichung

$$\mathit{u}\times \mathit{v}=\sum _{\mathit{j}=1}^3\sum _{\mathit{k}=1}^3{\mathit{u}}_{\mathit{j}}{\mathit{v}}_{\mathit{k}}({\mathit{b}}_{\mathit{j}}\times {\mathit{b}}_{\mathit{k}}).$$

Wie beim Skalarprodukt lässt sich das Vektorprodukt auf die Produkte der Basisvektoren zurückführen. Die Gleichung vereinfacht sich, wenn ${\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2,{\mathit{b}}_3$ eine Orthonormalbasis ist. Hier gilt nämlich:

Vektorprodukt der Basisvektoren einer Orthonormalbasis

Bilden ${\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2,{\mathit{b}}_3$ eine Orthonormalbasis, so bestehen unter ihnen die Beziehungen

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{b}}_1\times {\mathit{b}}_2& =& {\mathit{b}}_3\\ {\mathit{b}}_2\times {\mathit{b}}_3& =& {\mathit{b}}_1\\ {\mathit{b}}_1\times {\mathit{b}}_3& =& -{\mathit{b}}_2\end{array}$$

Die noch fehlenden ${\mathit{b}}_{\mathit{j}}\times {\mathit{b}}_{\mathit{k}}$ -Terme ergeben sich aus nach ${\mathit{b}}_{\mathit{j}}\times {\mathit{b}}_{\mathit{k}}=-({\mathit{b}}_{\mathit{k}}\times {\mathit{b}}_{\mathit{j}})$. Nach Substitution der Kreuzprodukte der Basisvektoren entsteht die Komponentenform des Kreuzproduktes für eine orthonormale Vektorbasis

$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}\times \mathit{w}& =& ({\mathit{u}}_2{\mathit{v}}_3-{\mathit{u}}_3{\mathit{v}}_2){\mathit{b}}_1+({\mathit{u}}_3{\mathit{v}}_1-{\mathit{u}}_1{\mathit{v}}_3){\mathit{b}}_2+({\mathit{u}}_1{\mathit{v}}_2-{\mathit{u}}_2{\mathit{v}}_1){\mathit{b}}_3\\ & =& \left(\begin{array}{rcl}& {\mathit{u}}_2{\mathit{v}}_3-{\mathit{u}}_3{\mathit{v}}_2& \\ & {\mathit{u}}_3{\mathit{v}}_1-{\mathit{u}}_1{\mathit{v}}_3& \\ & {\mathit{u}}_1{\mathit{v}}_2-{\mathit{u}}_2{\mathit{v}}_1& \end{array}\right).\end{array}$$

Für die Rechenvorschrift besteht eine einfache Merkregel. Dazu denken wir uns zuerst die drei Basisvektoren vor die Klammer gestellt. Dann notieren wir lediglich die Indizes der Basisvektoren und Vektorkomponenten der drei Summanden in jeweils gegebener Reihenfolge. Das sieht dann für Zahlen- und Achsenindizes so aus:

$$\begin{array}{ccccc}1(23-32)& +& 2(31-13)& +& 3(12-21)\\ \mathit{x}(\mathit{y}\mathit{z}-\mathit{z}\mathit{y})& +& \mathit{y}(\mathit{z}\mathit{x}-\mathit{x}\mathit{z})& +& \mathit{z}(\mathit{x}\mathit{y}-\mathit{y}\mathit{x})\end{array}$$

Erkennbar in dieser Aufstellung ist die zyklische Vertauschung der Indizes im ersten Term, die sich nach wenigen Übungen einprägt.

Im Vorgriff auf Determinanten sei hier auch eine zweite Merkregel erwähnt. Die Basisvektoren und skalaren Komponenten der beiden Vektoren werden in einer 3 x 3 -Determinante notiert in der Form

$$\mathit{u}\times \mathit{w}=\left|\begin{array}{ccc}{\mathit{b}}_1& {\mathit{b}}_2& {\mathit{b}}_3\\ {\mathit{u}}_1& {\mathit{u}}_2& {\mathit{u}}_3\\ {\mathit{v}}_1& {\mathit{v}}_2& {\mathit{v}}_3\end{array}\right|.$$

Nach den Regeln der Determinanten erfolgt die Ausmultiplikation (siehe dort). Beachte: Dies ist eine formale Vorgehensweise, deren Ergebnis das richtige Vektorprodukt ist. Mathematisch korrekt gesehen ergeben Determinanten durch Ausmultiplizieren immer einen Skalar.