Zur Regel 1

Wir machen sie uns wie folgt klar. Dass $\mathit{u}\times \mathit{v}$ und $\mathit{v}\times \mathit{u}$ dieselbe Länge und (da sie beide auf $\mathit{u}$ und $\mathit{v}$ senkrecht stehen) dieselbe Achsenlage haben, ist unmittelbar einsichtig. Es geht also nur noch um den Richtungssinn (siehe Einführung). Hierfür ist entscheidend, dass sowohl $\mathit{u}$, $\mathit{v}$, $\mathit{u}\times \mathit{v}$ als auch $\mathit{v}$, $\mathit{u}$, $\mathit{v}\times \mathit{u}$ jeweils in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden müssen. Mit etwas räumlichem Vorstellungsvermögen wird klar, dass dies nur dann möglich ist, wenn $\mathit{u}\times \mathit{v}$ und $\mathit{v}\times \mathit{u}$ in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Abb.1

Zur Regel 1 in Tabelle 1. Die Vektoren müssen jeweils in der Reihenfolge 1, 2, 3 ein Rechtssystem bilden.

Zur Regel 2

Der Beweis gelingt auf ähnliche Weise wie bei Regel 1 und soll hier nicht ausgeführt werden. Man beachte aber, dass der Fall eines negativen $\mathit{c}$ besondere Beachtung erfordert (vgl. unser Vorgehen beim Beweis von Regel 2 in Tabelle 1, siehe Empfehlung Betrag und Skalarprodukt: Rechenregeln).

Zur Regel 3

Wir beweisen nur einen Spezialfall: Wir nehmen an, dass $\mathit{u}$, $\mathit{v}$, $\mathit{w}$ in einer Ebene liegen (in der dann auch $\mathit{v}+\mathit{w}$ liegt), was zur Folge hat, dass $\mathit{u}\times \mathit{v}$, $\mathit{u}\times \mathit{w}$ und $\mathit{u}\times (\mathit{v}+\mathit{w})$ in ihren Achsenlagen übereinstimmen; ferner, dass letztere drei Vektoren auch den gleichen Richtungssinn haben. Der Beweis von Regel 3 reduziert sich dann auf den Beweis von

$$|\mathit{u}\times (\mathit{v}+\mathit{w})|=|\mathit{u}\times \mathit{v}|+|\mathit{u}\times \mathit{w}|$$

Betrachten wir nun folgende Abbildungen:

Abb.2

Abb.3

Da der Betrag des Vektorprodukts gleich dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist (s. Empfehlung „Vektorprodukt”), haben wir zu zeigen, dass die grauen Flächen oben und unten gleich sind. Das aber ist offensichtlich: Die untere entsteht nämlich aus der oberen einfach durch Weglassen des schraffierten Teils rechts und Hinzunehmen des gleich großen Teils links.

Zur Regel 4

Sie ergibt sich aus der Definition des Vektorprodukts, genauer aus dem Teil von ihr, welcher den Betrag festlegt:

$$|\mathit{u}\times \mathit{v}|=|\mathit{u}||\mathit{v}|sin\alpha$$

(vgl. Formel (2)). Ist $\mathit{v}=\mathit{u}$, so ist $\alpha$, der kleinere Winkel zwischen den Vektoren, gleich $0$, also $sin\alpha =0$, also $|\mathit{u}\times \mathit{u}|=0$, also $\mathit{u}\times \mathit{u}=\mathit{0}$.

Abgeleitete Rechenregeln

Aus Tabelle 1 ergeben sich weitere Regeln:

(Unter parallel bzw. antiparallel verstehen wir, dass die Vektoren gleiche bzw. entgegengesetzte Richtungen haben.)