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Skalarprodukt von Vektoren

Komponentenform des Skalarprodukts

Wir betrachten im Folgenden, welche Form das Skalarprodukt annimmt, wenn die Vektoren in der Komponentendarstellung gegeben sind. Dies eröffnet auch einen bequemen Weg zur Berechnung des Betrags eines Vektors.

Sei eine zunächst beliebige normierte Basis b 1 , b 2 , b 3 gegeben. Zwei beliebige Vektoren u , v lassen sich dann als Linearkombinationen

u = u 1 b 1 + u 2 b 2 + u 3 b 3 = k = 1 3 u k b k

und

v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 = k = 1 3 v k b k

schreiben. Gemäß der Rechenregeln des Skalarproduktes erhalten wir dann

u v = j = 1 3 u j b j k = 1 3 v k b k = j = 1 3 k = 1 3 u j v k ( b j b k ) .

Zu erinnern ist in dieser Gleichung daran, dass sich ein Produkt von zwei Summen in eine Doppelsumme von Produkten umformen lässt, deren Summationsindizes verschieden sein müssen. Das Skalarprodukt von u und v stellt demnach eine Summe aller möglichen Produkte der Komponenten u j , v k beider Vektoren und Skalarprodukte b j b k der Basisvektoren dar.

Die Summe vereinfacht sich erheblich, wenn es sich bei b 1 , b 2 , b 3 um eine Orthonormalbasis handelt, die wie folgt charakterisiert ist

b j b k = 1 falls j = k 0 falls j k

für alle j , k = 1 , 2 , 3 . Für eine Orthonormalbasis b 1 , b 2 , b 3 nimmt die Komponentenform des Skalarproduktes damit die folgende einfache Gestalt an:

u v = k = 1 3 u k v k = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 .

Betrag eines Vektors

Die Komponentenform des Betrags erhalten wir aus jener des Skalarprodukts durch Gleichsetzen beider Vektoren.

| u | = u u 1 / 2 .

Für allgemeine Basen ergibt sich entsprechend

| u | = j = 1 3 k = 1 3 u j u k ( b j b k ) 1 / 2 ,

und für eine Orthonormalbasis

| u | = ( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 + ( u 3 ) 2 1 / 2 .
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