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Skalarprodukt von Vektoren

Rechenregeln des Skalarprodukts

Tab.1
Rechenregeln des Skalarprodukts u , v , w = Vektoren, c = Skalar
1 u v = v u
2 u ( c v ) = c ( u v )
3 u ( v + w ) = u v + u w
4 u u 0
5 u u = 0 u = 0

Zur Regel 1

Sie folgt unmittelbar aus der Definitionsformel des Skalarprodukts,

u v = | u | | v | cos α .

α bezeichnet wie gewöhnlich den Winkel zwischen u und v .

Zur Regel 2

Hier ist ein wenig Überlegung notwendig. Sei α ' der Winkel zwischen u und c v . Nehmen wir zunächst c > 0 an. In diesem Fall ist α ' = α , da v und c v die gleiche Richtung haben (siehe Abb. 6)

Abb.1
Zur Regel 2 in Tabelle 1

Da ferner | c | = c , ergibt sich mit der Definitionsformel des Skalarprodukts und Regel 3 der Rechenregeln des Vektorbetrags

u ( c v ) = | u | | c v | cos α ' = | c | | u | | v | cos α ' = c | u | | v | cos α = c ( u v ) .

Im Fall c < 0 hingegen ist α ' = 180 - α , da c v jetzt in die v entgegengesetzte Richtung zeigt (siehe Abb. 6), und | c | = - c . Beachten wir noch cos ( 180 - α ) = - cos α , erhalten wir

u ( c v ) = | u | | c v | cos α ' = | c | | u | | v | cos α ' = ( - c ) | u | | v | ( - cos α ) = c | u | | v | cos α = c ( u v ) .

Der Fall c = 0 ist trivial.

Zur Regel 3

Diese machen wir uns mit Hilfe einer geometrischen Konstruktion klar. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf den Spezialfall, dass die Vektoren u , v , w alle in einer Ebene liegen. Betrachten wir folgende Zeichnung:

Abb.2
Zur Regel 3 in Tabelle 1

u ist zweimal eingezeichnet, einmal im Punkt A und einmal im Punkt B ' . Die Strecken A B , B ' C ' , A C sind die skalaren Anteile von v bzw. w bzw. v + w in Richtung von u . Also

A B = u v | u | , B ' C ' = u w | u | , A C = u ( v + w ) | u | .

Man beachte, dass diese Größen vorzeichenbehaftet sind. Das stört unsere Herleitung nicht. Der leichteren Nachvollziehbarkeit halber sollte sich der Leser diese Größen jedoch alle positiv denken, wie es auch in der Zeichnung dargestellt ist. Aus der ist auch abzulesen, dass B ' C ' = B C und

A C = A B + B C ,

also

u ( v + w ) | u | = u v | u | + u w | u | .

Multiplikation mit | u | ergibt die Regel 3 aus Tabelle 1. – Der Leser wird bemerkt haben, dass wir bei dieser Herleitung den Fall | u | = 0 ausschließen müssen. Dies ist unproblematisch, da für ihn die Regel trivialerweise gilt (beide Seiten der Gleichung sind 0 ).

Zur Regel 4

Sie lässt sich leicht einsehen. Betrachten wir mit v = u . Dann sind α = 0 und cos α = 1 , also

u u = | u | 2 ,

was stets 0 ist. Die Formel enthüllt nebenbei, dass der Betrag mit dem Skalarprodukt zusammenhängt und aus diesem nach

| u | = u u 1 / 2

berechnet werden kann. Die vierte Regel kann mittels auf die Regel 2 aus Tabelle 2 zurückgeführt werden.

Abgeleitete Rechenregeln

Durch Kombination der Regeln in Tabelle 1 können leicht weitere Regeln aufgestellt werden. Beispiele sind in Tabelle 2 gezeigt.

Tab.2
Abgeleitete Rechenregeln des Skalarprodukts u , v , w , r = Vektoren, c , d = Skalare
1 ( c u ) v ) = c ( u v )
2 ( c u ) ( d v ) = c d ( u v )
3 ( u + v ) w = u w + v w
4 ( u + v ) ( w + r ) = u w + v w + u r + v r
Hinweis
Der Leser mag sich wundern, warum die in den Tabellen 1 und 2 enthaltenen Regeln nicht in einer Tabelle zusammengefasst worden sind. Der Grund ist der, dass jene in Tabelle 2 ohne Zuhilfenahme der Definitionsgleichung des Skalarprodukts herleitbar sind, im Gegensatz zu jenen in Tabelle 1. Dies ist bedeutsam in Hinsicht darauf, dass sich der Begriff des Skalarprodukts verallgemeinern lässt. Jede paarweise Verknüpfung von Objekten, die den Regeln aus Tabelle 1 genügen, kann als ein Skalarprodukt aufgefasst werden. Z.B. können gewisse Integrale in der Quantenchemie auch als Skalarprodukte (verallgemeinerter) Vektoren aufgefasst werden. Hinweis: Genau genommen gelten obige Regeln nur für reelle Vektorkomponenten. Schließt man komplexe Vektorelemente ein, was z.B. in der Quantenmechanik von Drehimpulsen geschieht, müssen die Regeln noch modifiziert werden.
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