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Skalarprodukt von Vektoren

Komponente eines Vektors in einer Richtung

Häufig stellt sich in der Vektorrechnung die Frage, wie groß die Komponente eines Vektors in einer durch einen zweiten Vektor (auch Bezugsvektor) gegebenen Richtung ist. Damit ist zunächst die vektorielle Komponente gemeint, oft aber nur ihr Betrag. Ebenso kann auch jene Komponente gefragt sein, die senkrecht zum Bezugsvektor steht. Diese Aufgabenstellung soll im Folgenden ausführlicher behandelt werden.

Wir beginnen mit einer geometrischen Betrachtung. Seien zwei Vektoren u und v gegeben, die denselben Anfangspunkt besitzen. Wir denken uns in den einen Vektor eine unendliche Gerade gelegt und betrachten die Projektion des anderen auf diese Gerade. Zwei Möglichkeiten dafür sind in den folgenden Zeichnungen veranschaulicht.

Abb.1
Abb.2

Komponente von v in Richtung von u . Links: Winkel zwischen u und v < 90 ; Rechts: Winkel zwischen u und v > 90

Komponente eines Vektors in Richtung eines anderen Vektors
Unter der Komponente von v in Richtung von u versteht man den Vektor, dessen Anfangspunkt der gemeinsame Anfangspunkt von u und v ist und dessen Endpunkt durch Fällen des Lots von der Spitze von v auf die Gerade G entsteht. Wir bezeichnen diesen Vektor mit v u .

Wir denken uns nun zusätzlich eine unendlich ausgedehnte Ebene E u , die durch den Anfangspunkt von u geht und deren Normalenvektor gleich dem Einheitsvektor von u ist.

Abb.3
Komponente von v orthogonal zur Richtung von u
Komponente eines Vektors orthogonal zur Richtung eines anderen Vektors
Unter der Komponente von v orthogonal zur Richtung von u versteht man den Vektor, dessen Anfangspunkt der gemeinsame Anfangspunkt von u und v ist und dessen Endpunkt durch Fällen des Lots von der Spitze von v auf die Ebene E u entsteht. Wir bezeichnen diesen Vektor mit v ' u .

Aus den Zeichnungen für die beiden Komponenten v u und v ' u ist anschaulich klar, dass ihre Summe wieder den Vektor v ergibt. Auf den strengen Beweis sei deswegen verzichtet.

v = v u + v ' u .

Bestimmung der Komponenten v u und v ' u

Sie wird am zweckmäßigsten mit Hilfe der Komponentendarstellung der beiden Vektoren u und v durchgeführt. Wie die obersten beiden Abbildungen (Abb. 3 und 4) zeigen, ist die Komponente von v in Richtung von u gleich dem Kosinus des Winkels zwischen u und v mal dem Betrag von v . Dieses Produkt ist Bestandteil des Skalarprodukts, so dass gilt:

v u = u v | u | u | u | .

Mit bekanntem v u entsteht dann v ' u gemäß Gleichung durch Bildung der Differenz v u - v ' u .

Mitunter ist nur der Betrag von v u , also

v u = u v | u | .

von Interesse. Er wird als skalare Komponente oder skalarer Anteil von v in Richtung von u bezeichnet. Er kann sowohl positiv als auch negativ sein, gleich null eingeschlossen.

Die Rechnung vereinfacht sich, wenn nach der Komponente von v in Richtung eines Einheitsvektors e gefragt ist. Hier gilt

v e = e v e

und somit

v e = e v .
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